Номер 103, страница 414 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

103. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$;

2) $f(x) = \frac{x - 1}{x^2}$;

3) $f(x) = (1 - x)\sqrt{x}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Найти критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
4. Определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения.
5. Сделать выводы о промежутках монотонности и точках экстремума. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает; если $f'(x) < 0$, функция убывает. Точка, в которой производная меняет знак с «+» на «−», является точкой максимума, а с «−» на «+» — точкой минимума.

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любых $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного или как производную сложной функции:

$f'(x) = \left((x^2 + 1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot (x^2)' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю: $-2x = 0$, откуда $x = 0$. Это единственная критическая точка.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

При $x < 0$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = -\frac{2(-1)}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

При $x > 0$ (например, $x = 1$), $f'(1) = -\frac{2(1)}{(1^2 + 1)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} < 0$. Следовательно, на интервале $(0; +\infty)$ функция убывает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$; функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$; $x_{max} = 0$.

Дана функция $f(x) = \frac{x-1}{x^2}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-1)' \cdot x^2 - (x-1) \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x-1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} = \frac{x(2-x)}{x^4} = \frac{2-x}{x^3}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2-x}{x^3} = 0$.

Числитель равен нулю: $2-x = 0 \Rightarrow x=2$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = \frac{2-(-1)}{(-1)^3} = \frac{3}{-1} = -3 < 0$. Функция убывает.

При $x \in (0; 2)$ (например, $x = 1$), $f'(1) = \frac{2-1}{1^3} = \frac{1}{1} = 1 > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x = 3$), $f'(3) = \frac{2-3}{3^3} = \frac{-1}{27} < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$; функция возрастает на промежутке $(0; 2]$; $x_{max} = 2$.

Дана функция $f(x) = (1-x)\sqrt{x}$.

1. Область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Удобнее представить функцию в виде $f(x) = \sqrt{x} - x\sqrt{x} = x^{1/2} - x^{3/2}$.

$f'(x) = (x^{1/2} - x^{3/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Приведем к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{1 - 3(\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - 3x}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем критические точки. Производная определена при $x > 0$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1 - 3x}{2\sqrt{x}} = 0$.

Числитель равен нулю: $1 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.

Производная не существует при $x = 0$, что является граничной точкой области определения. Эта точка также является критической.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

При $x \in (0; \frac{1}{3})$ (например, $x = \frac{1}{4}$), $f'(\frac{1}{4}) = \frac{1 - 3(1/4)}{2\sqrt{1/4}} = \frac{1/4}{1} > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$ (например, $x = 1$), $f'(1) = \frac{1 - 3(1)}{2\sqrt{1}} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. Точка $x=0$ является левой границей области определения, и функция начинает возрастать от этой точки, следовательно, $x=0$ - точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; \frac{1}{3}]$; функция убывает на промежутке $[\frac{1}{3}; +\infty)$; $x_{min} = 0$, $x_{max} = \frac{1}{3}$.