Номер 3, страница 416 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Парадоксы теории множеств.

Рекомендуемая литература:

1) Ященко И. В. Парадоксы теории множеств. – М. : МЦМНО, 2002.

2) Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. – М. : Наука, 1965.

Парадоксы теории множеств — это противоречия, которые были обнаружены в конце XIX — начале XX века в наивной теории множеств, разработанной Георгом Кантором. Наивная теория множеств исходила из интуитивно понятного, но, как оказалось, ошибочного принципа: для любого свойства можно образовать множество, состоящее из всех объектов, обладающих этим свойством. Открытие парадоксов привело к кризису оснований математики и стимулировало разработку аксиоматических теорий множеств, таких как система Цермело — Френкеля (ZFC), которая является стандартом в современной математике.

Ниже рассмотрены наиболее известные парадоксы.

Этот парадокс, сформулированный Бертраном Расселом в 1901 году, является одним из самых известных. Он анализирует самопринадлежность множеств. Некоторые множества, называемые "обычными", не содержат себя в качестве элемента (например, множество всех людей не является человеком). Другие, "необычные" множества, могут содержать себя в качестве элемента (например, множество всех понятий само является понятием).

Рассмотрим множество $R$, которое состоит из всех "обычных" множеств, то есть всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Формально это записывается так:

$R = \{x \mid x \notin x\}$

Теперь зададим вопрос: принадлежит ли множество $R$ самому себе? То есть, истинно ли утверждение $R \in R$?

Возможны два варианта, и оба ведут к противоречию:

1. Предположим, что $R$ принадлежит самому себе ($R \in R$). Но по определению, в множество $R$ входят только те множества $x$, которые удовлетворяют условию $x \notin x$. Если $x=R$, то из $R \in R$ следует, что $R$ должно удовлетворять этому условию, то есть $R \notin R$. Получили противоречие.
2. Предположим, что $R$ не принадлежит самому себе ($R \notin R$). В этом случае $R$ удовлетворяет свойству, определяющему его элементы (а именно, свойству "не содержать себя в качестве элемента"). Следовательно, $R$ должно быть включено в множество всех таких множеств, то есть в само себя. Таким образом, из $R \notin R$ следует $R \in R$. Снова противоречие.

Поскольку оба предположения ($R \in R$ и $R \notin R$) приводят к противоречию, это означает, что само существование множества $R$ в рамках наивной теории множеств является логически невозможным.

Ответ: Парадокс Рассела показывает, что допущение о существовании множества всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, приводит к неразрешимому логическому противоречию. Следовательно, такое множество не может существовать, что указывает на несостоятельность принципа неограниченного свертывания в наивной теории множеств.

Этот парадокс, также обнаруженный Георгом Кантором, связан с понятием мощности (кардинального числа) множества и основывается на его же фундаментальной теореме.

Теорема Кантора: Мощность множества всех подмножеств (булеана) любого множества $A$, обозначаемого как $P(A)$, строго больше мощности самого множества $A$. Формально: $|P(A)| > |A|$.

Теперь рассмотрим гипотетическое множество всех множеств, обозначим его $U$. Если бы такое множество существовало, оно по определению содержало бы в себе абсолютно все существующие множества.

Рассмотрим булеан этого множества, $P(U)$. $P(U)$ — это множество всех подмножеств $U$. Поскольку каждый элемент $P(U)$ (то есть каждое подмножество $U$) сам по себе является множеством, то по определению $U$ все эти элементы должны содержаться в $U$. Это означает, что $P(U)$ является подмножеством $U$: $P(U) \subseteq U$.

Из того, что $P(U)$ является подмножеством $U$, следует, что его мощность не может быть больше мощности $U$. То есть, $|P(U)| \leq |U|$.

Однако это утверждение напрямую противоречит теореме Кантора, которая гласит, что для любого множества, включая $U$, должно выполняться неравенство $|P(U)| > |U|$.

Таким образом, допущение о существовании "множества всех множеств" приводит к противоречию.

Ответ: Парадокс Кантора демонстрирует, что не может существовать "множество всех множеств", поскольку его мощность одновременно должна быть строго меньше мощности своего булеана (согласно теореме Кантора) и не меньше её (поскольку булеан должен быть его подмножеством). Это доказывает невозможность существования такого универсального множества.

Этот парадокс, названный в честь Чезаре Бурали-Форти, был первым опубликованным парадоксом теории множеств (1897 г.) и касается множества всех порядковых чисел (ординалов).

Ординалы — это обобщение натуральных чисел, используемое для описания порядка в хорошо упорядоченных множествах. Ключевые свойства ординалов, приводящие к парадоксу:

1. Любое множество ординалов само является хорошо упорядоченным относительно отношения принадлежности ($\in$) или "меньше" ($<$).
2. Для любого хорошо упорядоченного множества существует ординал, который является его порядковым типом.

Рассмотрим множество $\Omega$, состоящее из всех порядковых чисел. В соответствии со свойством 1, множество $\Omega$ само является хорошо упорядоченным.

В соответствии со свойством 2, для хорошо упорядоченного множества $\Omega$ должен существовать ординал, который является его порядковым типом. Обозначим этот ординал как $\gamma$.

По определению порядкового типа, ординал $\gamma$ должен быть строго больше любого ординала из множества $\Omega$. То есть, $\gamma$ не может быть элементом $\Omega$ ($\gamma \notin \Omega$).

Однако $\Omega$ по определению является множеством всех порядковых чисел. Поскольку $\gamma$ — это ординал, он должен принадлежать множеству всех ординалов. То есть, $\gamma \in \Omega$.

Мы получили противоречие: $\gamma \notin \Omega$ и $\gamma \in \Omega$. Это означает, что исходное предположение о существовании множества всех ординалов неверно.

Ответ: Парадокс Бурали-Форти показывает, что совокупность всех порядковых чисел не может образовывать множество. Попытка рассмотреть такую совокупность как единое множество приводит к противоречию, связанному с определением порядкового типа этого же множества.

Парадоксы наивной теории множеств показали, что нельзя произвольно конструировать множества. Решением стало создание аксиоматических систем, которые накладывают строгие ограничения на то, какие совокупности объектов могут считаться множествами. Наиболее распространенной является аксиоматика Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

ZFC избегает парадоксов следующим образом:

• Ограничение принципа свертывания. Вместо того чтобы позволять создавать множество из любого свойства $P(x)$, аксиома выделения (или схема выделения) позволяет лишь выделять подмножество из уже существующего множества $A$. То есть, можно образовать множество $\{x \in A \mid P(x)\}$. Это не позволяет создать "слишком большие" совокупности, такие как "множество всех множеств", так как для этого потребовалось бы исходное, уже существующее универсальное множество.
• Аксиома регулярности (фундирования). Эта аксиома напрямую запрещает существование множеств, которые являются элементами самих себя ($x \notin x$), а также исключает бесконечные цепочки принадлежности вида $... \in x_3 \in x_2 \in x_1$. Это делает условие $x \notin x$ в парадоксе Рассела истинным для всех множеств, устраняя саму возможность построения парадоксального множества $R$ в рамках ZFC.

Таким образом, аксиоматические системы, такие как ZFC, ограничивают способы образования множеств, предотвращая самореференцию и образование "слишком больших" совокупностей, которые и были источниками парадоксов.

Ответ: Преодоление парадоксов было достигнуто путем отказа от наивной теории множеств в пользу строгих аксиоматических систем (например, ZFC). Эти системы ограничивают принцип образования множеств, запрещая создание "слишком больших" совокупностей (таких как "множество всех множеств") и вводя аксиомы (например, аксиому регулярности), которые исключают патологические конструкции, лежавшие в основе парадоксов.