Номер 101, страница 414 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

101. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \operatorname{tg} x - 2x$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = \tg x - 2x$ необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

1. Область определения функции.

Функция определена для всех $x$, при которых $\cos x \neq 0$, то есть для всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Производная функции.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (\tg x - 2x)' = (\tg x)' - (2x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 2$.

3. Анализ знака производной.

Функция возрастает, когда ее производная $f'(x) \ge 0$, и убывает, когда $f'(x) \le 0$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю (критические точки):

$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{\cos^2 x} - 2 = 0 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2}$.

Отсюда $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решениями являются точки $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

Точки разрыва производной совпадают с точками, где не определена исходная функция: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. В силу периодичности функции $f'(x)$ (ее период $\pi$), достаточно рассмотреть знаки на одном из периодов области определения, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

На интервалах $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4})$ и $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2 x < \frac{1}{2}$. Следовательно, $\frac{1}{\cos^2 x} > 2$, и производная $f'(x) > 0$. Значит, на этих интервалах функция возрастает.

На интервале $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ выполняется неравенство $\frac{1}{2} < \cos^2 x \le 1$. Следовательно, $1 \le \frac{1}{\cos^2 x} < 2$, и производная $f'(x) < 0$. Значит, на этом интервале функция убывает.

Обобщим полученные результаты с учетом периодичности.

Промежутки возрастания

Функция возрастает на тех промежутках, где $f'(x) \ge 0$. С учетом непрерывности функции в критических точках, это промежутки вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{4} + \pi n]$ и $[\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{4} + \pi n]$ и $[\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки убывания

Функция убывает на тех промежутках, где $f'(x) \le 0$. С учетом непрерывности функции в критических точках, это промежутки вида $[-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.