Номер 100, страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

100. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^2 + 4x - 7$;

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x + 9$;

3) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1$;

4) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^2 + 4x - 7$ необходимо найти ее производную и определить знаки производной на числовой оси.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 4x - 7)' = 2x + 4$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$.
3. Критическая точка $x = -2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.
- На промежутке $(-\infty; -2)$, возьмем точку $x = -3$: $f'(-3) = 2(-3) + 4 = -2 < 0$. Так как производная отрицательна, функция убывает.
- На промежутке $(-2; +\infty)$, возьмем точку $x = 0$: $f'(0) = 2(0) + 4 = 4 > 0$. Так как производная положительна, функция возрастает.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x + 9$ найдем промежутки монотонности.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
1. Найдем производную:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 8x + 9)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 8 = x^3 - 8$.
2. Найдем критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
3. Критическая точка $x = 2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на них.
- На промежутке $(-\infty; 2)$, возьмем точку $x = 0$: $f'(0) = 0^3 - 8 = -8 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(2; +\infty)$, возьмем точку $x = 3$: $f'(3) = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19 > 0$. Функция возрастает.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

3) Для функции $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1$ найдем промежутки монотонности.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
1. Найдем производную:
$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1)' = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.
2. Найдем критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки: $4x(x^2 - 3x + 2) = 0$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $4x(x - 1)(x - 2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.
3. Эти точки делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них методом интервалов.
- На $(-\infty; 0)$ (например, $x = -1$): $f'(-1) = 4(-1)(-2)(-3) = -24 < 0$. Функция убывает.
- На $(0; 1)$ (например, $x = 0.5$): $f'(0.5) = 4(0.5)(-0.5)(-1.5) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
- На $(1; 2)$ (например, $x = 1.5$): $f'(1.5) = 4(1.5)(0.5)(-0.5) = -1.5 < 0$. Функция убывает.
- На $(2; +\infty)$ (например, $x = 3$): $f'(3) = 4(3)(2)(1) = 24 > 0$. Функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$ найдем промежутки монотонности.
1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 9 \Rightarrow x \neq \pm 3$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. Найдем производную функции, используя правило производной частного:
$f'(x) = \left(\frac{x}{x^2 - 9}\right)' = \frac{(x)'(x^2 - 9) - x(x^2 - 9)'}{(x^2 - 9)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 9) - x \cdot (2x)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{x^2 - 9 - 2x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-x^2 - 9}{(x^2 - 9)^2} = -\frac{x^2 + 9}{(x^2 - 9)^2}$.
3. Определим знак производной.
Числитель $-(x^2 + 9)$ всегда отрицателен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 9 > 0$.
Знаменатель $(x^2 - 9)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения, так как является квадратом выражения.
Следовательно, $f'(x) = \frac{\text{отрицательное число}}{\text{положительное число}} < 0$ на всей области определения.
Поскольку производная всегда отрицательна, функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.