Номер 95, страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

95. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 2, x_0 = 0;$

2) $f(x) = \cot\left(x + \frac{\pi}{4}\right), x_0 = -\frac{\pi}{2}.$

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$ (тангенс угла наклона касательной).

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = 0,5 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (0,5x^2 - 2x + 2)' = 0,5 \cdot 2x - 2 = x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(x_0) = f'(0) = 0 - 2 = -2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=2$ и $f'(x_0)=-2$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - 0)$

$y = 2 - 2x$

Ответ: $y = -2x + 2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{2}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{4})$.

Так как котангенс — нечетная функция, $\text{ctg}(-a) = -\text{ctg}(a)$, то:

$f(-\frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции. Производная $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$:

$f'(x) = (\text{ctg}(x + \frac{\pi}{4}))' = -\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})} \cdot (x + \frac{\pi}{4})' = -\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{4})}$.

Так как $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\sin^2(-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $f'(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{1/2} = -2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-\frac{\pi}{2}$, $f(x_0)=-1$ и $f'(x_0)=-2$ в уравнение касательной:

$y = -1 + (-2)(x - (-\frac{\pi}{2}))$

$y = -1 - 2(x + \frac{\pi}{2})$

$y = -1 - 2x - \pi$

Запишем уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = -2x - \pi - 1$

Ответ: $y = -2x - \pi - 1$