Номер 102, страница 414 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

102. При каких значениях параметра $a$ функция $y = (a + 2) x^3 - 3ax^2 + 9ax - 2$ убывает на $R$?

Для того чтобы функция $y = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 2$ убывала на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, необходимо и достаточно, чтобы её производная $y'(x)$ была неположительной для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $y'(x) \le 0$.

Найдем производную функции:

$y'(x) = \frac{d}{dx}((a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 2) = 3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений параметра $a$, при которых неравенство $3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a \le 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.

Выражение $y'(x)$ является квадратичной функцией от $x$ (или линейной, если коэффициент при $x^2$ равен нулю).

Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $3(a + 2) = 0$, что дает $a = -2$.

При $a = -2$ производная принимает вид:

$y'(x) = 3(-2 + 2)x^2 - 6(-2)x + 9(-2) = 12x - 18$.

Неравенство $12x - 18 \le 0$ выполняется не для всех $x \in \mathbb{R}$ (например, для $x=2$ оно неверно, так как $12 \cdot 2 - 18 = 6 > 0$). Следовательно, $a = -2$ не является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq -2$. В этом случае $y'(x)$ — это парабола. Чтобы парабола была всегда неположительной, её ветви должны быть направлены вниз, и она не должна иметь точек выше оси абсцисс. Это эквивалентно выполнению двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным: $3(a+2) < 0$.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным: $D \le 0$.

Решим систему этих двух неравенств.

1. Из $3(a+2) < 0$ следует $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.

2. Вычислим дискриминант $D$ для $3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a = 0$:

$D = (-6a)^2 - 4 \cdot 3(a+2) \cdot 9a = 36a^2 - 108a(a+2) = 36a^2 - 108a^2 - 216a = -72a^2 - 216a$.

Условие $D \le 0$ дает нам неравенство:

$-72a^2 - 216a \le 0$.

Разделим обе части на $-72$ и сменим знак неравенства:

$a^2 + 3a \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $a(a+3) \ge 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $a \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)$.

Нам необходимо найти значения $a$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$\begin{cases} a < -2 \\ a \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty) \end{cases}$

Пересекая множество $a < -2$ с множеством $a \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)$, получаем $a \in (-\infty, -3]$.

Таким образом, функция убывает на $\mathbb{R}$ при $a \le -3$.

Ответ: $a \le -3$.