gdz.top
Номер 99, страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения для повторения курса алгебры и начал анализа 10 класса. Производная и её применение - номер 99, страница 413.
№98
№99 (с. 413)
Условие. №99 (с. 413)
99. В какой точке графика функции $y = x + \frac{3}{x}$ надо провести касательную, чтобы эта касательная пересекла ось ординат в точке (0; 6)?
Решение. №99 (с. 413)
Пусть искомая точка касания имеет координаты $(x_0; y_0)$. Эта точка принадлежит графику функции $y = x + \frac{3}{x}$, следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению $y_0 = x_0 + \frac{3}{x_0}$.
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит так: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Сначала найдем производную функции $f(x) = y = x + \frac{3}{x}$: $f'(x) = (x + 3x^{-1})' = 1 - 3x^{-2} = 1 - \frac{3}{x^2}$.
Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке $(x_0; y_0)$: $y_0 = x_0 + \frac{3}{x_0}$ $f'(x_0) = 1 - \frac{3}{x_0^2}$ Подставляем в общую формулу: $y = \left(x_0 + \frac{3}{x_0}\right) + \left(1 - \frac{3}{x_0^2}\right)(x - x_0)$.
По условию задачи, эта касательная проходит через точку $(0; 6)$. Подставим значения $x=0$ и $y=6$ в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$: $6 = \left(x_0 + \frac{3}{x_0}\right) + \left(1 - \frac{3}{x_0^2}\right)(0 - x_0)$ $6 = x_0 + \frac{3}{x_0} - x_0\left(1 - \frac{3}{x_0^2}\right)$ $6 = x_0 + \frac{3}{x_0} - x_0 + \frac{3x_0}{x_0^2}$ $6 = \frac{3}{x_0} + \frac{3}{x_0}$ $6 = \frac{6}{x_0}$
Из последнего уравнения находим $x_0$: $6x_0 = 6$ $x_0 = 1$
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 1$ в уравнение функции: $y_0 = 1 + \frac{3}{1} = 1 + 3 = 4$.
Таким образом, искомая точка графика функции, в которой нужно провести касательную, это точка с координатами $(1; 4)$.
Ответ: $(1; 4)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 99 расположенного на странице 413 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №99 (с. 413), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.