Номер 98, страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

98. Запишите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4$, если эта касательная проходит через точку $M(2; -1)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = x^2 - 4$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда значение функции в этой точке равно $f(x_0) = x_0^2 - 4$, а значение производной (угловой коэффициент касательной) — $f'(x_0) = 2x_0$.

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной:

$y = (x_0^2 - 4) + 2x_0(x - x_0)$

По условию, касательная проходит через точку $M(2; -1)$. Это означает, что координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению касательной. Подставим $x = 2$ и $y = -1$ в полученное уравнение, чтобы найти $x_0$:

$-1 = (x_0^2 - 4) + 2x_0(2 - x_0)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_0$:

$-1 = x_0^2 - 4 + 4x_0 - 2x_0^2$

$-1 = -x_0^2 + 4x_0 - 4$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x_0^2 - 4x_0 + 4 - 1 = 0$

$x_0^2 - 4x_0 + 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корнями являются:

$x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = 3$.

Мы получили два значения для абсциссы точки касания, а значит, из точки $M$ можно провести две касательные к графику данной функции. Найдем уравнение для каждой из них.

Случай 1: $x_0 = 1$

Находим $f(1) = 1^2 - 4 = -3$ и $f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

Подставляем эти значения в уравнение касательной:

$y = -3 + 2(x - 1)$

$y = -3 + 2x - 2$

$y = 2x - 5$

Случай 2: $x_0 = 3$

Находим $f(3) = 3^2 - 4 = 5$ и $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

Подставляем эти значения в уравнение касательной:

$y = 5 + 6(x - 3)$

$y = 5 + 6x - 18$

$y = 6x - 13$

Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $y = 2x - 5$ и $y = 6x - 13$.