Номер 105, страница 414 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

105. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (2\sin x + \sin 2x)' = 2\cos x + (\cos 2x) \cdot 2 = 2\cos x + 2\cos 2x$.

Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, чтобы привести производную к выражению, зависящему только от $\cos x$:

$f'(x) = 2\cos x + 2(2\cos^2 x - 1) = 4\cos^2 x + 2\cos x - 2$.

2. Находим критические точки

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$4\cos^2 x + 2\cos x - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Находим корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3. Отбираем точки, принадлежащие отрезку $[0; \frac{3\pi}{2}]$

Из всех найденных решений выберем те, что лежат в заданном интервале:

• Из серии $x = \pi + 2\pi n$ отрезку $[0; \frac{3\pi}{2}]$ принадлежит точка $x = \pi$ (при $n=0$).
• Из серии $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ отрезку $[0; \frac{3\pi}{2}]$ принадлежит точка $x = \frac{\pi}{3}$ (при $k=0$).

Таким образом, у нас есть две критические точки внутри отрезка: $\frac{\pi}{3}$ и $\pi$.

4. Вычисляем значения функции

Теперь вычислим значения функции $f(x)$ в найденных критических точках и на концах отрезка ($x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$):

• $f(0) = 2\sin(0) + \sin(2 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$
• $f(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
• $f(\pi) = 2\sin(\pi) + \sin(2\pi) = 2 \cdot 0 + 0 = 0$
• $f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) + \sin(3\pi) = -2 + 0 = -2$

5. Сравниваем полученные значения

Мы получили четыре значения для сравнения: $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $0$ и $-2$.

Наибольшее значение функции

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшим является $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (так как $\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598 > 0$).

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Наименьшее значение функции

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшим является $-2$.

Ответ: $-2$