gdz.top
Номер 104, страница 414 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения для повторения курса алгебры и начал анализа 10 класса. Производная и её применение - номер 104, страница 414.
№103
№104 (с. 414)
Условие. №104 (с. 414)
104. Найдите точки минимума и максимума функции $f(x) = \sin x - \cos x + x$.
Решение. №104 (с. 414)
Для нахождения точек минимума и максимума функции $f(x) = \sin x - \cos x + x$, сначала найдем ее производную и критические точки.
Производная функции: $f'(x) = (\sin x - \cos x + x)' = \cos x - (-\sin x) + 1 = \cos x + \sin x + 1$.
Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\cos x + \sin x + 1 = 0$
$\sin x + \cos x = -1$
Используя метод введения вспомогательного угла, получаем:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = -1$
$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения этого уравнения — две серии точек:
$x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x+\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь определим характер этих критических точек с помощью второй производной:
$f''(x) = (\cos x + \sin x + 1)' = -\sin x + \cos x$.
Точки минимума
Проверим знак второй производной в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$:
$f''(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) + \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -(-1) + 0 = 1$.
Так как $f''(x) > 0$, то эти точки являются точками минимума.
Ответ: Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума
Проверим знак второй производной в точках $x = \pi + 2\pi k$:
$f''(\pi + 2\pi k) = -\sin(\pi + 2\pi k) + \cos(\pi + 2\pi k) = 0 + (-1) = -1$.
Так как $f''(x) < 0$, то эти точки являются точками максимума.
Ответ: Точки максимума: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 104 расположенного на странице 414 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №104 (с. 414), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.