Номер 2, страница 416 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Определение элементарных функций с помощью функциональных уравнений Коши.

Рекомендуемая литература:

1) Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. — К. : Вища шк., 1983.

2) Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. — М. : Физматлит, 2001.

3) Андреев А. А., Кузьмин Ю. Н., Савин А. Н. Функциональные уравнения. — Самара : Пифагор, 1997.

Функциональные уравнения Коши — это четыре классических уравнения, которые позволяют определить основные классы элементарных функций, исходя из их фундаментальных алгебраических свойств (например, как преобразование аргументов связано с преобразованием значений функции). Решение этих уравнений в классе непрерывных функций однозначно, с точностью до параметра, задает линейную, показательную, логарифмическую и степенную функции.

Общая стратегия решения для каждого уравнения состоит из двух шагов: сначала находится вид функции для рациональных аргументов, а затем, с использованием дополнительного предположения о непрерывности, результат обобщается на все действительные числа.

Линейная однородная функция $f(x) = cx$ определяется как единственное непрерывное решение аддитивного функционального уравнения Коши:

$$f(x+y) = f(x) + f(y)$$

Краткая схема вывода решения выглядит следующим образом. Сначала устанавливается, что для любого рационального числа $r \in \mathbb{Q}$ решение должно иметь вид $f(r)=cr$, где $c=f(1)$ — константа. Это доказывается последовательно для натуральных, целых и, наконец, дробных чисел. Затем, используя свойство непрерывности, это решение распространяется на все действительные числа. Для любого действительного $x$ можно выбрать последовательность рациональных чисел $\{r_n\}$, сходящуюся к $x$. Тогда из непрерывности функции $f$ следует:

$f(x) = f(\lim_{n \to \infty} r_n) = \lim_{n \to \infty} f(r_n) = \lim_{n \to \infty} (cr_n) = c \lim_{n \to \infty} r_n = cx$.

Таким образом, свойство аддитивности в совокупности с непрерывностью однозначно характеризует линейную функцию.

Ответ: Единственным непрерывным решением аддитивного уравнения Коши $f(x+y)=f(x)+f(y)$ является линейная функция вида $f(x)=cx$, где $c$ — произвольная действительная константа.

Показательная (экспоненциальная) функция $f(x) = a^x$ (где $a>0$) определяется как единственное нетривиальное (не равное тождественно нулю) непрерывное решение показательного функционального уравнения Коши:

$$f(x+y) = f(x)f(y)$$

Данное уравнение имеет тривиальное решение $f(x)=0$ для всех $x$. Если же функция не является тождественным нулем, можно доказать, что она принимает только положительные значения, т.е. $f(x)>0$. Это позволяет прологарифмировать обе части уравнения. Положив $g(x) = \ln(f(x))$, получим:

$$g(x+y) = \ln(f(x+y)) = \ln(f(x)f(y)) = \ln(f(x)) + \ln(f(y)) = g(x) + g(y)$$

Полученное уравнение $g(x+y) = g(x) + g(y)$ является аддитивным уравнением Коши. Поскольку функция $f$ непрерывна и положительна, функция $g$ также непрерывна. Следовательно, ее решение имеет вид $g(x) = kx$ для некоторой константы $k$. Возвращаясь к исходной функции $f(x)$, имеем $\ln(f(x)) = kx$, откуда $f(x) = e^{kx} = (e^k)^x$. Обозначив $a = e^k$ (где $a$ — положительная константа), получаем окончательный вид решения.

Ответ: Непрерывные решения показательного уравнения Коши $f(x+y)=f(x)f(y)$ исчерпываются функциями $f(x)=0$, $f(x)=1$ и $f(x)=a^x$, где $a$ — произвольная положительная константа, не равная 1.

Логарифмическая функция $f(x) = \log_a x$ (где $a>0, a \neq 1$) определяется как нетривиальное непрерывное решение логарифмического функционального уравнения Коши для положительных аргументов $x,y > 0$:

$$f(xy) = f(x) + f(y)$$

Для решения этого уравнения применяется замена переменных, сводящая его к аддитивному. Положим $x = e^u$ и $y = e^v$, где $u, v \in \mathbb{R}$. Введем новую функцию $g(t) = f(e^t)$. Подстановка в исходное уравнение дает:

$$f(e^u e^v) = f(e^{u+v}) = g(u+v)$$

$$f(e^u) + f(e^v) = g(u) + g(v)$$

В результате получаем аддитивное уравнение $g(u+v) = g(u) + g(v)$. Так как $f$ непрерывна на $(0, +\infty)$, то $g$ непрерывна на $\mathbb{R}$, и ее решение есть $g(t)=ct$ для некоторой константы $c$. Выполняя обратную замену $t = \ln x$, находим $f(x) = g(\ln x) = c \ln x$. Это и есть общий вид логарифмической функции (константа $c$ определяет основание логарифма, $c=1/\ln a$).

Ответ: Непрерывные решения логарифмического уравнения Коши $f(xy)=f(x)+f(y)$ при $x,y>0$ имеют вид $f(x)=c \ln x$, где $c$ — произвольная действительная константа.

Степенная функция $f(x) = x^k$ определяется как одно из нетривиальных непрерывных решений мультипликативного функционального уравнения Коши для $x,y > 0$:

$$f(xy) = f(x)f(y)$$

Это уравнение имеет очевидные решения $f(x)=0$ и $f(x)=1$. Для поиска нетривиальных решений, отличных от константы, используется та же замена переменных, что и в предыдущем пункте: $x=e^u$, $y=e^v$ и $g(t) = f(e^t)$. Уравнение преобразуется к виду:

$$g(u+v) = f(e^{u+v}) = f(e^u e^v) = f(e^u)f(e^v) = g(u)g(v)$$

Получилось показательное уравнение $g(u+v)=g(u)g(v)$, непрерывные решения которого есть $g(t)=a^t$ для некоторой константы $a>0$. Выполняя обратную замену $t = \ln x$, находим $f(x) = g(\ln x) = a^{\ln x}$. Используя тождество $a = e^{\ln a}$, преобразуем выражение:

$$f(x) = (e^{\ln a})^{\ln x} = e^{(\ln a)(\ln x)} = (e^{\ln x})^{\ln a} = x^{\ln a}$$

Обозначив $k = \ln a$, получаем классический вид степенной функции $f(x) = x^k$.

Ответ: Непрерывные решения мультипликативного уравнения Коши $f(xy)=f(x)f(y)$ при $x,y>0$ исчерпываются функциями $f(x)=0$, $f(x)=1$ и $f(x)=x^k$, где $k$ — произвольная действительная константа.