Страница 416 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Периодические функции.

Рекомендуемая литература:

1) Рывкин А. А. Периодические функции // Квант. 1973. № 5.

2) Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Тригонометрия. — К. : Генеза, 2008.

3) Фалин Г. И., Фалин А. И. Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике в МГУ. — М. : БИНОМ, 2007.

4) Земляков А., Ивлев Б. Периодические функции // Квант. 1976. № 12.

5) Дорофеев Г. В., Розов Н. Х. Функции периодические и непериодические // Квант. 1987. № 9.

1. Периодические функции.

Рекомендуемая литература:

1) Рывкин А. А. Периодические функции // Квант. 1973. № 5.

2) Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Тригонометрия. — К. : Генеза, 2008.

3) Фалин Г. И., Фалин А. И. Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике в МГУ. — М. : БИНОМ, 2007.

4) Земляков А., Ивлев Б. Периодические функции // Квант. 1976. № 12.

5) Дорофеев Г. В., Розов Н. Х. Функции периодические и непериодические // Квант. 1987. № 9.

2. Определение элементарных функций с помощью функциональных уравнений Коши.

Рекомендуемая литература:

1) Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. — К. : Вища шк., 1983.

2) Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. — М. : Физматлит, 2001.

3) Андреев А. А., Кузьмин Ю. Н., Савин А. Н. Функциональные уравнения. — Самара : Пифагор, 1997.

Функциональные уравнения Коши — это четыре классических уравнения, которые позволяют определить основные классы элементарных функций, исходя из их фундаментальных алгебраических свойств (например, как преобразование аргументов связано с преобразованием значений функции). Решение этих уравнений в классе непрерывных функций однозначно, с точностью до параметра, задает линейную, показательную, логарифмическую и степенную функции.

Общая стратегия решения для каждого уравнения состоит из двух шагов: сначала находится вид функции для рациональных аргументов, а затем, с использованием дополнительного предположения о непрерывности, результат обобщается на все действительные числа.

Линейная однородная функция $f(x) = cx$ определяется как единственное непрерывное решение аддитивного функционального уравнения Коши:

$$f(x+y) = f(x) + f(y)$$

Краткая схема вывода решения выглядит следующим образом. Сначала устанавливается, что для любого рационального числа $r \in \mathbb{Q}$ решение должно иметь вид $f(r)=cr$, где $c=f(1)$ — константа. Это доказывается последовательно для натуральных, целых и, наконец, дробных чисел. Затем, используя свойство непрерывности, это решение распространяется на все действительные числа. Для любого действительного $x$ можно выбрать последовательность рациональных чисел $\{r_n\}$, сходящуюся к $x$. Тогда из непрерывности функции $f$ следует:

$f(x) = f(\lim_{n \to \infty} r_n) = \lim_{n \to \infty} f(r_n) = \lim_{n \to \infty} (cr_n) = c \lim_{n \to \infty} r_n = cx$.

Таким образом, свойство аддитивности в совокупности с непрерывностью однозначно характеризует линейную функцию.

Ответ: Единственным непрерывным решением аддитивного уравнения Коши $f(x+y)=f(x)+f(y)$ является линейная функция вида $f(x)=cx$, где $c$ — произвольная действительная константа.

Показательная (экспоненциальная) функция $f(x) = a^x$ (где $a>0$) определяется как единственное нетривиальное (не равное тождественно нулю) непрерывное решение показательного функционального уравнения Коши:

$$f(x+y) = f(x)f(y)$$

Данное уравнение имеет тривиальное решение $f(x)=0$ для всех $x$. Если же функция не является тождественным нулем, можно доказать, что она принимает только положительные значения, т.е. $f(x)>0$. Это позволяет прологарифмировать обе части уравнения. Положив $g(x) = \ln(f(x))$, получим:

$$g(x+y) = \ln(f(x+y)) = \ln(f(x)f(y)) = \ln(f(x)) + \ln(f(y)) = g(x) + g(y)$$

Полученное уравнение $g(x+y) = g(x) + g(y)$ является аддитивным уравнением Коши. Поскольку функция $f$ непрерывна и положительна, функция $g$ также непрерывна. Следовательно, ее решение имеет вид $g(x) = kx$ для некоторой константы $k$. Возвращаясь к исходной функции $f(x)$, имеем $\ln(f(x)) = kx$, откуда $f(x) = e^{kx} = (e^k)^x$. Обозначив $a = e^k$ (где $a$ — положительная константа), получаем окончательный вид решения.

Ответ: Непрерывные решения показательного уравнения Коши $f(x+y)=f(x)f(y)$ исчерпываются функциями $f(x)=0$, $f(x)=1$ и $f(x)=a^x$, где $a$ — произвольная положительная константа, не равная 1.

Логарифмическая функция $f(x) = \log_a x$ (где $a>0, a \neq 1$) определяется как нетривиальное непрерывное решение логарифмического функционального уравнения Коши для положительных аргументов $x,y > 0$:

$$f(xy) = f(x) + f(y)$$

Для решения этого уравнения применяется замена переменных, сводящая его к аддитивному. Положим $x = e^u$ и $y = e^v$, где $u, v \in \mathbb{R}$. Введем новую функцию $g(t) = f(e^t)$. Подстановка в исходное уравнение дает:

$$f(e^u e^v) = f(e^{u+v}) = g(u+v)$$

$$f(e^u) + f(e^v) = g(u) + g(v)$$

В результате получаем аддитивное уравнение $g(u+v) = g(u) + g(v)$. Так как $f$ непрерывна на $(0, +\infty)$, то $g$ непрерывна на $\mathbb{R}$, и ее решение есть $g(t)=ct$ для некоторой константы $c$. Выполняя обратную замену $t = \ln x$, находим $f(x) = g(\ln x) = c \ln x$. Это и есть общий вид логарифмической функции (константа $c$ определяет основание логарифма, $c=1/\ln a$).

Ответ: Непрерывные решения логарифмического уравнения Коши $f(xy)=f(x)+f(y)$ при $x,y>0$ имеют вид $f(x)=c \ln x$, где $c$ — произвольная действительная константа.

Степенная функция $f(x) = x^k$ определяется как одно из нетривиальных непрерывных решений мультипликативного функционального уравнения Коши для $x,y > 0$:

$$f(xy) = f(x)f(y)$$

Это уравнение имеет очевидные решения $f(x)=0$ и $f(x)=1$. Для поиска нетривиальных решений, отличных от константы, используется та же замена переменных, что и в предыдущем пункте: $x=e^u$, $y=e^v$ и $g(t) = f(e^t)$. Уравнение преобразуется к виду:

$$g(u+v) = f(e^{u+v}) = f(e^u e^v) = f(e^u)f(e^v) = g(u)g(v)$$

Получилось показательное уравнение $g(u+v)=g(u)g(v)$, непрерывные решения которого есть $g(t)=a^t$ для некоторой константы $a>0$. Выполняя обратную замену $t = \ln x$, находим $f(x) = g(\ln x) = a^{\ln x}$. Используя тождество $a = e^{\ln a}$, преобразуем выражение:

$$f(x) = (e^{\ln a})^{\ln x} = e^{(\ln a)(\ln x)} = (e^{\ln x})^{\ln a} = x^{\ln a}$$

Обозначив $k = \ln a$, получаем классический вид степенной функции $f(x) = x^k$.

Ответ: Непрерывные решения мультипликативного уравнения Коши $f(xy)=f(x)f(y)$ при $x,y>0$ исчерпываются функциями $f(x)=0$, $f(x)=1$ и $f(x)=x^k$, где $k$ — произвольная действительная константа.

3. Парадоксы теории множеств.

Рекомендуемая литература:

1) Ященко И. В. Парадоксы теории множеств. – М. : МЦМНО, 2002.

2) Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. – М. : Наука, 1965.

Парадоксы теории множеств — это противоречия, которые были обнаружены в конце XIX — начале XX века в наивной теории множеств, разработанной Георгом Кантором. Наивная теория множеств исходила из интуитивно понятного, но, как оказалось, ошибочного принципа: для любого свойства можно образовать множество, состоящее из всех объектов, обладающих этим свойством. Открытие парадоксов привело к кризису оснований математики и стимулировало разработку аксиоматических теорий множеств, таких как система Цермело — Френкеля (ZFC), которая является стандартом в современной математике.

Ниже рассмотрены наиболее известные парадоксы.

Этот парадокс, сформулированный Бертраном Расселом в 1901 году, является одним из самых известных. Он анализирует самопринадлежность множеств. Некоторые множества, называемые "обычными", не содержат себя в качестве элемента (например, множество всех людей не является человеком). Другие, "необычные" множества, могут содержать себя в качестве элемента (например, множество всех понятий само является понятием).

Рассмотрим множество $R$, которое состоит из всех "обычных" множеств, то есть всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Формально это записывается так:

$R = \{x \mid x \notin x\}$

Теперь зададим вопрос: принадлежит ли множество $R$ самому себе? То есть, истинно ли утверждение $R \in R$?

Возможны два варианта, и оба ведут к противоречию:

1. Предположим, что $R$ принадлежит самому себе ($R \in R$). Но по определению, в множество $R$ входят только те множества $x$, которые удовлетворяют условию $x \notin x$. Если $x=R$, то из $R \in R$ следует, что $R$ должно удовлетворять этому условию, то есть $R \notin R$. Получили противоречие.
2. Предположим, что $R$ не принадлежит самому себе ($R \notin R$). В этом случае $R$ удовлетворяет свойству, определяющему его элементы (а именно, свойству "не содержать себя в качестве элемента"). Следовательно, $R$ должно быть включено в множество всех таких множеств, то есть в само себя. Таким образом, из $R \notin R$ следует $R \in R$. Снова противоречие.

Поскольку оба предположения ($R \in R$ и $R \notin R$) приводят к противоречию, это означает, что само существование множества $R$ в рамках наивной теории множеств является логически невозможным.

Ответ: Парадокс Рассела показывает, что допущение о существовании множества всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, приводит к неразрешимому логическому противоречию. Следовательно, такое множество не может существовать, что указывает на несостоятельность принципа неограниченного свертывания в наивной теории множеств.

Этот парадокс, также обнаруженный Георгом Кантором, связан с понятием мощности (кардинального числа) множества и основывается на его же фундаментальной теореме.

Теорема Кантора: Мощность множества всех подмножеств (булеана) любого множества $A$, обозначаемого как $P(A)$, строго больше мощности самого множества $A$. Формально: $|P(A)| > |A|$.

Теперь рассмотрим гипотетическое множество всех множеств, обозначим его $U$. Если бы такое множество существовало, оно по определению содержало бы в себе абсолютно все существующие множества.

Рассмотрим булеан этого множества, $P(U)$. $P(U)$ — это множество всех подмножеств $U$. Поскольку каждый элемент $P(U)$ (то есть каждое подмножество $U$) сам по себе является множеством, то по определению $U$ все эти элементы должны содержаться в $U$. Это означает, что $P(U)$ является подмножеством $U$: $P(U) \subseteq U$.

Из того, что $P(U)$ является подмножеством $U$, следует, что его мощность не может быть больше мощности $U$. То есть, $|P(U)| \leq |U|$.

Однако это утверждение напрямую противоречит теореме Кантора, которая гласит, что для любого множества, включая $U$, должно выполняться неравенство $|P(U)| > |U|$.

Таким образом, допущение о существовании "множества всех множеств" приводит к противоречию.

Ответ: Парадокс Кантора демонстрирует, что не может существовать "множество всех множеств", поскольку его мощность одновременно должна быть строго меньше мощности своего булеана (согласно теореме Кантора) и не меньше её (поскольку булеан должен быть его подмножеством). Это доказывает невозможность существования такого универсального множества.

Этот парадокс, названный в честь Чезаре Бурали-Форти, был первым опубликованным парадоксом теории множеств (1897 г.) и касается множества всех порядковых чисел (ординалов).

Ординалы — это обобщение натуральных чисел, используемое для описания порядка в хорошо упорядоченных множествах. Ключевые свойства ординалов, приводящие к парадоксу:

1. Любое множество ординалов само является хорошо упорядоченным относительно отношения принадлежности ($\in$) или "меньше" ($<$).
2. Для любого хорошо упорядоченного множества существует ординал, который является его порядковым типом.

Рассмотрим множество $\Omega$, состоящее из всех порядковых чисел. В соответствии со свойством 1, множество $\Omega$ само является хорошо упорядоченным.

В соответствии со свойством 2, для хорошо упорядоченного множества $\Omega$ должен существовать ординал, который является его порядковым типом. Обозначим этот ординал как $\gamma$.

По определению порядкового типа, ординал $\gamma$ должен быть строго больше любого ординала из множества $\Omega$. То есть, $\gamma$ не может быть элементом $\Omega$ ($\gamma \notin \Omega$).

Однако $\Omega$ по определению является множеством всех порядковых чисел. Поскольку $\gamma$ — это ординал, он должен принадлежать множеству всех ординалов. То есть, $\gamma \in \Omega$.

Мы получили противоречие: $\gamma \notin \Omega$ и $\gamma \in \Omega$. Это означает, что исходное предположение о существовании множества всех ординалов неверно.

Ответ: Парадокс Бурали-Форти показывает, что совокупность всех порядковых чисел не может образовывать множество. Попытка рассмотреть такую совокупность как единое множество приводит к противоречию, связанному с определением порядкового типа этого же множества.

Парадоксы наивной теории множеств показали, что нельзя произвольно конструировать множества. Решением стало создание аксиоматических систем, которые накладывают строгие ограничения на то, какие совокупности объектов могут считаться множествами. Наиболее распространенной является аксиоматика Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

ZFC избегает парадоксов следующим образом:

• Ограничение принципа свертывания. Вместо того чтобы позволять создавать множество из любого свойства $P(x)$, аксиома выделения (или схема выделения) позволяет лишь выделять подмножество из уже существующего множества $A$. То есть, можно образовать множество $\{x \in A \mid P(x)\}$. Это не позволяет создать "слишком большие" совокупности, такие как "множество всех множеств", так как для этого потребовалось бы исходное, уже существующее универсальное множество.
• Аксиома регулярности (фундирования). Эта аксиома напрямую запрещает существование множеств, которые являются элементами самих себя ($x \notin x$), а также исключает бесконечные цепочки принадлежности вида $... \in x_3 \in x_2 \in x_1$. Это делает условие $x \notin x$ в парадоксе Рассела истинным для всех множеств, устраняя саму возможность построения парадоксального множества $R$ в рамках ZFC.

Таким образом, аксиоматические системы, такие как ZFC, ограничивают способы образования множеств, предотвращая самореференцию и образование "слишком больших" совокупностей, которые и были источниками парадоксов.

Ответ: Преодоление парадоксов было достигнуто путем отказа от наивной теории множеств в пользу строгих аксиоматических систем (например, ZFC). Эти системы ограничивают принцип образования множеств, запрещая создание "слишком больших" совокупностей (таких как "множество всех множеств") и вводя аксиомы (например, аксиому регулярности), которые исключают патологические конструкции, лежавшие в основе парадоксов.

4. Математическая логика — язык математики.

Рекомендуемая литература:

1) Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. — М. : Наука, 1974.

2) Челпанов Г. И. Учебник логики. — М. : URSS, 2012.

3) Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика. — М. : Мир, 1975.

4) Никольская И. Л. Математическая логика. — М. : Высшая школа, 1981.

5) Мадер В. В. Школьнику об алгебре логики. — М. : Просвещение, 1993.

6) Гжегорчик А. Популярная логика. — М. : Наука, 1979.

7) Эдельман С. Л. Математическая логика. — М. : Высшая школа, 1975.

Математическая логика — язык математики.

Утверждение «Математическая логика — язык математики» является фундаментальным для понимания современной математики. Это связано с тем, что математическая логика предоставляет строгий и формализованный аппарат для выражения математических утверждений, построения доказательств и анализа их корректности, устраняя двусмысленность и неточность, присущие естественным языкам.

Язык математической логики, как и любой другой язык, имеет свой синтаксис (правила построения формул) и семантику (правила определения истинности или ложности этих формул). Основой этого языка служат высказывания, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Из простых высказываний строятся более сложные с помощью логических операций: конъюнкции (логическое «И», $ \land $), дизъюнкции (логическое «ИЛИ», $ \lor $), отрицания (логическое «НЕ», $ \neg $), импликации («если..., то...», $ \to $) и эквиваленции («тогда и только тогда, когда...», $ \leftrightarrow $). Это позволяет с абсолютной точностью формулировать сложные математические утверждения.

Любая математическая теория (например, арифметика или геометрия) строится на основе аксиоматического метода. Сначала вводятся базовые, неопределяемые понятия и принимаются без доказательства некоторые исходные утверждения — аксиомы. Затем, используя строго определенные правила вывода, предоставляемые логикой, из аксиом выводятся новые истинные утверждения — теоремы. Этот процесс гарантирует, что если исходные аксиомы верны, то и все полученные из них теоремы также будут верны. Для формулировки утверждений о свойствах объектов и их взаимоотношениях используются предикаты и кванторы: квантор всеобщности ($ \forall $ — «для любого») и квантор существования ($ \exists $ — «существует»).

Таким образом, математическая логика служит универсальным фундаментом для всех разделов математики, обеспечивая строгость, последовательность и проверяемость математических рассуждений. Она позволяет строить сложные, непротиворечивые теории и является тем самым языком, на котором «говорит» вся современная математика.

Для более глубокого изучения этой темы в источнике рекомендуется следующая литература:

1) Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. — М. : Наука, 1974.

2) Челпанов Г. И. Учебник логики. — М. : URSS, 2012.

3) Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика. — М. : Мир, 1975.

4) Никольская И. Л. Математическая логика. — М. : Высшая школа, 1981.

5) Мадер В. В. Школьнику об алгебре логики. — М. : Просвещение, 1993.

6) Гжегорчик А. Популярная логика. — М. : Наука, 1979.

7) Эдельман С. Л. Математическая логика. — М. : Высшая школа, 1975.

Ответ: Математическая логика является языком математики, поскольку она предоставляет формальную систему символов и правил для однозначного выражения математических утверждений, построения строгих доказательств и обеспечения непротиворечивости математических теорий.