Страница 422 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.1. Повторите, какими способами задания функции вы пользовались в предыдущих классах для того, чтобы представить эту функцию с помощью компьютера.

В предыдущих классах для задания функций и их представления с помощью компьютера использовались следующие основные способы:

• Аналитический способ (задание функции формулой)
  Этот способ заключается в том, что зависимость между аргументом $x$ и значением функции $y$ выражается с помощью математической формулы, например, $y = kx + b$ или $f(x) = ax^2 + bx + c$. Для представления такой функции на компьютере пишется программный код (функция или процедура), который принимает на вход значение аргумента $x$ и, выполняя соответствующие вычисления по формуле, возвращает значение функции $y$. Этот способ является наиболее универсальным и эффективным для работы с математическими зависимостями в компьютерных программах, так как позволяет вычислить значение функции для любого аргумента из области определения.
  Ответ: Аналитический способ (с помощью формулы).

• Табличный способ
  При этом способе функция задается путем перечисления пар соответствующих значений аргумента и функции в виде таблицы. Этот способ удобен, когда область определения функции дискретна и состоит из конечного числа значений, или когда функция является результатом измерений или экспериментальных данных. На компьютере такая функция представляется с помощью структур данных: двух массивов (один для аргументов, другой для значений), списка пар, или словаря (ассоциативного массива), где ключами являются значения аргумента, а значениями — соответствующие им значения функции.
  Пример таблицы для функции $y=2x+1$:

  x	y
  1	3
  2	5
  3	7
  4	9

  Ответ: Табличный способ.

• Графический способ
  Функция задается с помощью ее графика на координатной плоскости. Для человека это очень наглядный способ, однако для компьютера он является способом визуализации, а не первичным способом задания. Чтобы компьютер мог построить или использовать график, функция должна быть изначально задана одним из других способов (чаще всего аналитическим). Программа вычисляет по формуле или берет из таблицы множество точек $(x, y)$, а затем отображает их на экране и соединяет линиями. Таким образом, для компьютера график — это результат вычислений, основанных на аналитическом или табличном представлении функции.
  Ответ: Графический способ.

• Словесный способ
  Правило, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие значение функции, описывается словами. Например: "значение функции равно модулю значения аргумента". Чтобы компьютер мог работать с такой функцией, словесное описание необходимо формализовать, то есть перевести в точный алгоритм (последовательность команд) или математическую формулу. По сути, этот процесс является программированием. Компьютер исполняет не само словесное описание, а созданную на его основе программу.
  Ответ: Словесный способ.

1.2. Каким образом характеристики функции помогают построить её график на экране компьютера?

1.2. Построение графика функции на экране компьютера — это процесс преобразования непрерывной математической концепции в дискретное изображение, состоящее из пикселей. Характеристики функции играют ключевую роль в этом процессе, делая его точным и эффективным. Компьютер не "видит" кривую целиком; он строит ее по точкам. Вот как характеристики помогают в этом:

Основной алгоритм построения графика компьютером включает следующие шаги:

1. Дискретизация области определения. Компьютер выбирает некоторый интервал $[x_{min}, x_{max}]$ и разбивает его на множество точек $x_1, x_2, ..., x_n$ с определенным шагом $h$.
2. Вычисление значений функции. Для каждой точки $x_i$ вычисляется соответствующее значение $y_i = f(x_i)$. В результате получается набор координатных пар $(x_i, y_i)$.
3. Соединение точек. Компьютер соединяет последовательные точки $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ отрезками прямых. Если точек достаточно много (шаг $h$ маленький), то получившаяся ломаная линия будет визуально неотличима от гладкой кривой.

Однако этот простой алгоритм может давать серьезные ошибки. Именно здесь на помощь приходят аналитические характеристики функции, которые позволяют программе построения графиков (графопостроителю) действовать "умнее":

• Область определения ($D(f)$). Это первое и самое важное свойство. Программа не будет даже пытаться вычислять значения функции там, где она не определена (например, $\sqrt{x}$ для $x < 0$ или $\log(x)$ для $x \le 0$). Это предотвращает ошибки и определяет, на каких интервалах оси $Ox$ вообще будет существовать график.
• Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Если у функции есть точка разрыва (например, у функции $y = 1/x$ в точке $x=0$), простой алгоритм может неверно соединить две ветви графика, проведя почти вертикальную линию через асимптоту. "Умная" программа анализирует функцию на наличие знаменателей, обращающихся в ноль. Обнаружив точку разрыва, она прерывает линию и начинает строить новую ветвь графика с другой стороны от асимптоты, что обеспечивает корректное изображение.
• Экстремумы (максимумы и минимумы). В точках экстремумов функция меняет свое поведение (с возрастания на убывание или наоборот). Если шаг дискретизации $h$ слишком большой, можно "пропустить" вершину параболы или любой другой локальный максимум/минимум. Продвинутые программы могут анализировать производную функции ($f'(x)$). В точках, где $f'(x) = 0$, находятся критические точки. Программа может принудительно добавить эти точки в список для вычисления, чтобы гарантированно отобразить все пики и впадины на графике. Это называется адаптивным шагом: в областях, где функция быстро меняется, шаг уменьшается.
• Периодичность. Если программа определит, что функция периодическая (например, $y = \sin(x)$), ей достаточно точно построить график на одном периоде, а затем просто скопировать этот фрагмент на всю заданную область построения. Это значительно экономит вычислительные ресурсы.
• Четность/нечетность. Знание о четности ($f(-x)=f(x)$) или нечетности ($f(-x)=-f(x)$) также позволяет оптимизировать вычисления. Например, для четной функции достаточно вычислить значения для $x > 0$, а затем симметрично отразить график относительно оси $Oy$.

Таким образом, характеристики функции позволяют компьютерной программе не просто слепо вычислять точки, а анализировать поведение функции, чтобы выбрать правильные интервалы для построения, корректно обработать разрывы и асимптоты, точно отобразить ключевые точки (экстремумы) и оптимизировать вычисления.

Ответ: Характеристики функции (область определения, точки разрыва, асимптоты, экстремумы, периодичность, четность) позволяют компьютерной программе адаптировать алгоритм построения графика: выбирать правильные интервалы, избегать соединения точек через разрывы, уточнять положение ключевых точек (вершин и впадин) и оптимизировать вычисления, что в итоге приводит к созданию точного и адекватного визуального представления функции.

1.3.!* Функция задана таблично. Запишите алгоритм для определения того, является ли эта функция возрастающей либо убывающей. Какую структуру данных изучаемого языка программирования вы используете для табличного представления функции?

Запишите алгоритм для определения того, является ли эта функция возрастающей либо убывающей.

Для начала определим, что значит возрастающая и убывающая функция применительно к набору табличных данных. Функция $y = f(x)$ называется:

• Возрастающей (неубывающей), если для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$.
• Убывающей (невозрастающей), если для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \ge f(x_2)$.

Если неравенства строгие ($<$ и $>$), то функция называется строго возрастающей или строго убывающей соответственно. Алгоритм ниже проверяет на нестрогое возрастание/убывание.

Предположим, что функция задана набором из $n$ пар $(x_i, y_i)$, где $y_i = f(x_i)$. Для осмысленной проверки необходимо, чтобы в таблице было как минимум две точки ($n \ge 2$).

Алгоритм:

1. Подготовка данных. Упорядочить все пары $(x_i, y_i)$ по возрастанию аргумента $x_i$. Если значения $x$ уже отсортированы, этот шаг можно пропустить. В результате мы получаем последовательность значений функции $y_1, y_2, \ldots, y_n$, соответствующих отсортированным значениям $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$.
2. Инициализация. Создать две логические (булевы) переменные-флага. Пусть первая, `is_increasing`, помечает, может ли функция быть возрастающей, а вторая, `is_decreasing`, — может ли она быть убывающей. Изначально присвоить обеим переменным значение "истина" (`true`).
   `is_increasing = true`
   `is_decreasing = true`
3. Проверка в цикле. Пройти в цикле по всем значениям функции, начиная со второго. То есть для $i$ от 2 до $n$. В каждой итерации сравнивать текущее значение $y_i$ с предыдущим $y_{i-1}$.
   • Если обнаружено, что $y_i < y_{i-1}$, это нарушает условие возрастания. Следовательно, функция не является возрастающей. Устанавливаем флаг `is_increasing` в значение "ложь" (`false`).
   • Если обнаружено, что $y_i > y_{i-1}$, это нарушает условие убывания. Следовательно, функция не является убывающей. Устанавливаем флаг `is_decreasing` в значение "ложь" (`false`).
4. Вывод результата. После завершения цикла проанализировать значения флагов:
   • Если `is_increasing` остался `true`, значит, на всем протяжении не было нарушено условие возрастания. Функция является возрастающей.
   • Если `is_decreasing` остался `true`, значит, не было нарушено условие убывания. Функция является убывающей.
   • Если оба флага `is_increasing` и `is_decreasing` равны `true` (это возможно только если все значения $y_i$ равны), функция является и возрастающей, и убывающей (является постоянной).
   • Если оба флага стали `false`, функция не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная).

Ответ: Алгоритм состоит из сортировки данных по аргументу $x$, последующего однократного прохода по значениям функции $y$ с проверкой выполнения условий $y_i \ge y_{i-1}$ и $y_i \le y_{i-1}$ и обновлением двух логических флагов для определения итогового характера монотонности.

Какую структуру данных изучаемого языка программирования вы используете для табличного представления функции?

Для табличного представления функции, которое по сути является набором пар «аргумент-значение» $(x, y)$, можно использовать несколько подходящих структур данных. Выбор зависит от конкретного языка программирования и особенностей задачи.

Наиболее распространенные и удобные варианты:

• Два параллельных массива (или списка). Один массив хранит значения аргументов ($x$), другой — соответствующие значения функции ($y$). Например, в языке Python это могли бы быть два списка: `x_values = [1, 2, 3, 5]` и `y_values = [2, 4, 6, 10]`. Связь между $x_i$ и $y_i$ устанавливается по общему индексу `i`. Это простой и эффективный по памяти способ.

• Массив (список) пар или объектов. Более структурированный подход, где каждый элемент массива представляет собой единую сущность — точку функции. Пара $(x, y)$ хранится вместе.

  • В Python это может быть список кортежей: `points = [(1, 2), (2, 4), (3, 6)]`.
  • В C++ — вектор пар: `std::vector> points;`.
  • В Java — массив или `ArrayList` объектов специального класса `Point`, имеющего поля `x` и `y`.
  Этот способ лучше отражает логику данных и упрощает операции, такие как сортировка.
• Ассоциативный массив (словарь, хэш-таблица, карта). В этой структуре аргументы $x$ выступают в роли ключей, а значения функции $y$ — в роли значений.
  • В Python — словарь: `function_data = {1: 2, 2: 4, 3: 6}`.
  • В C++ — `std::map` или `std::unordered_map`.
  Преимущество `std::map` в C++ (или аналогичных упорядоченных словарей в других языках) заключается в том, что ключи в нем уже хранятся в отсортированном виде, что избавляет от необходимости выполнять шаг 1 в предложенном выше алгоритме.

Ответ: Для табличного представления функции удобно использовать массив (список) пар/объектов, где каждый объект хранит пару $(x, y)$, или ассоциативный массив (словарь), где ключами являются значения $x$, а значениями — $y$. Упорядоченный ассоциативный массив (например, `map` в C++) является особенно подходящим, так как он автоматически поддерживает данные отсортированными по аргументу функции.

1.4. Каким образом следует учитывать наибольшее и наименьшее значения функции при построении графика функции на экране компьютера?

Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке играют ключевую роль при построении ее графика на экране компьютера. Они необходимы для корректного масштабирования и отображения графика в пределах выделенной области (окна или холста), чтобы он был одновременно полным и наглядным.

Процесс учета этих значений можно разбить на следующие этапы:

1. Определение диапазона значений функции.

   Прежде всего, для заданного интервала аргумента $x \in [x_{min}, x_{max}]$, необходимо найти наименьшее ($y_{min}$) и наибольшее ($y_{max}$) значения функции $f(x)$. В компьютерной графике это обычно делается численно: функция вычисляется в большом количестве точек на отрезке $[x_{min}, x_{max}]$, и среди полученных значений находятся минимальное и максимальное.

   $y_{min} = \min_{x \in [x_{min}, x_{max}]} f(x)$

   $y_{max} = \max_{x \in [x_{min}, x_{max}]} f(x)$

2. Масштабирование по вертикали (оси Y).

   Экран компьютера имеет ограниченное разрешение в пикселях. Допустим, высота области для построения графика составляет $H$ пикселей. Диапазон значений функции, который равен $y_{max} - y_{min}$, должен быть "растянут" или "сжат" так, чтобы он полностью поместился в эти $H$ пикселей. Наибольшее и наименьшее значения как раз и определяют этот диапазон и, следовательно, необходимый масштаб.

3. Преобразование координат.

   Каждая точка графика $(x, y)$ из математической системы координат должна быть преобразована в пиксельную (экранную) координату $(sx, sy)$. Если для оси $X$ преобразование зависит от $x_{min}$ и $x_{max}$, то для оси $Y$ оно напрямую зависит от $y_{min}$ и $y_{max}$.

   Формула для преобразования вертикальной координаты $y$ в экранную координату $sy$ выглядит следующим образом (учитывая, что в большинстве графических систем ось Y направлена вниз):

   $sy = H \cdot \left(1 - \frac{y - y_{min}}{y_{max} - y_{min}}\right)$

   Здесь:

   • $y$ — текущее значение функции.
   • $y_{min}, y_{max}$ — минимальное и максимальное значения функции на отрезке.
   • $H$ — высота области для построения графика в пикселях.
   • $sy$ — итоговая пиксельная координата по вертикали.

   Дробь $\frac{y - y_{min}}{y_{max} - y_{min}}$ нормализует значение $y$ в диапазон $[0, 1]$. Умножение на $H$ масштабирует его до диапазона $[0, H]$. Вычитание из единицы (или, что эквивалентно, вычитание результата из $H$) инвертирует ось, чтобы $y_{max}$ соответствовал верху экрана (малой координате $sy$), а $y_{min}$ — низу (большой координате $sy$).

Последствия неверного определения $y_{min}$ и $y_{max}$:

• Если выбранный диапазон по оси Y меньше реального, часть графика (пики или впадины) окажется за пределами видимой области экрана (произойдет отсечение или клиппинг).
• Если выбранный диапазон значительно больше реального, график будет выглядеть очень "сплюснутым" по вертикали, занимая лишь малую часть выделенного пространства. Это затруднит анализ его особенностей.

Таким образом, точное определение $y_{min}$ и $y_{max}$ является обязательным шагом для построения наглядного и информативного графика функции, который оптимально использует доступное экранное пространство.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значения функции ($y_{max}$ и $y_{min}$) на заданном отрезке используются для определения вертикального масштаба графика. Они позволяют преобразовать математические координаты точек функции в пиксельные координаты экрана так, чтобы весь график полностью и наглядно помещался в отведенную для него область. Это достигается путем линейного отображения диапазона значений $[y_{min}, y_{max}]$ на диапазон доступных пиксельных высот $[0, H]$.

1.5. Задайте в табличном редакторе некоторую функцию для положительных значений аргумента. Дополните таблицу так, чтобы получилась:

1) чётная функция;

2) нечётная функция.

Как сделать это автоматически? Постройте график этой функции.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала выберем некоторую функцию и зададим её значения в виде таблицы для положительных аргументов. Затем, используя определения чётной и нечётной функций, дополним эту таблицу для отрицательных значений аргумента, в том числе и автоматически. В конце опишем, как будут выглядеть графики.

Возьмем в качестве примера функцию $f(x) = \sqrt{x} + 2$. Эта функция определена только для $x \ge 0$. Создадим для неё таблицу значений в табличном редакторе (например, MS Excel или Google Sheets):

Теперь на основе этой таблицы создадим чётную и нечётную функции.

1) чётная функция

Чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Чтобы дополнить нашу таблицу, мы должны для каждого отрицательного значения $x$ взять значение функции от соответствующего положительного $x$.

Дополненная таблица будет выглядеть так:

Как сделать это автоматически?

Предположим, у вас есть исходная таблица, где в столбце A находятся значения $x \ge 0$ (например, в ячейках A2:A5), а в столбце B — соответствующие значения $f(x)$ (в B2:B5). Чтобы автоматически заполнить значения для отрицательных $x$:

1. В столбец A ниже добавьте отрицательные значения $x$ (например, -1, -4, -9 в ячейки A6, A7, A8).
2. В ячейку B6 (напротив $x=-1$) введите формулу, которая найдет значение функции для $x=1$. Для этого можно использовать функцию ВПР (VLOOKUP в английской версии Excel). Формула будет выглядеть так: =ВПР(-A6; A$2:B$5; 2; ЛОЖЬ).
3. Эта формула ищет значение -A6 (т.е. 1) в первом столбце диапазона A$2:B$5 и возвращает соответствующее значение из второго столбца.
4. Протяните (скопируйте) эту формулу вниз для всех отрицательных значений $x$.

График этой функции будет симметричен относительно оси OY.

Ответ: Чтобы получить чётную функцию, нужно для отрицательных значений аргумента $-x$ задать те же значения функции, что и для соответствующих положительных $x$, т.е. $f(-x) = f(x)$. Автоматически это делается с помощью функции поиска, например, =ВПР(-A6; A$2:B$5; 2; ЛОЖЬ).

2) нечётная функция

Нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Чтобы дополнить нашу таблицу, мы должны для каждого отрицательного значения $x$ взять значение функции от соответствующего положительного $x$ и умножить его на -1. Важно отметить, что для нечётной функции, если она определена в нуле, всегда выполняется $f(0) = 0$. Поэтому мы изменим значение в нашей исходной таблице для $x=0$.

Дополненная таблица (с учётом $f(0)=0$) будет выглядеть так:

Как сделать это автоматически?

Действия аналогичны предыдущему пункту, но формула будет другой. Используя ту же структуру таблицы:

1. В ячейку B6 (напротив $x=-1$) введите формулу: = -ВПР(-A6; A$2:B$5; 2; ЛОЖЬ).
2. Знак "минус" перед функцией ВПР обеспечивает выполнение условия $f(-x) = -f(x)$.
3. Протяните эту формулу вниз для всех отрицательных значений $x$.

График этой функции будет симметричен относительно начала координат.

Ответ: Чтобы получить нечётную функцию, нужно для отрицательных значений аргумента $-x$ задать противоположные значения функции от соответствующих положительных $x$, т.е. $f(-x) = -f(x)$. Автоматически это делается с помощью формулы вида = -ВПР(-A6; A$2:B$5; 2; ЛОЖЬ).