Номер 1.5, страница 422 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.5. Задайте в табличном редакторе некоторую функцию для положительных значений аргумента. Дополните таблицу так, чтобы получилась:

1) чётная функция;

2) нечётная функция.

Как сделать это автоматически? Постройте график этой функции.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала выберем некоторую функцию и зададим её значения в виде таблицы для положительных аргументов. Затем, используя определения чётной и нечётной функций, дополним эту таблицу для отрицательных значений аргумента, в том числе и автоматически. В конце опишем, как будут выглядеть графики.

Возьмем в качестве примера функцию $f(x) = \sqrt{x} + 2$. Эта функция определена только для $x \ge 0$. Создадим для неё таблицу значений в табличном редакторе (например, MS Excel или Google Sheets):

Теперь на основе этой таблицы создадим чётную и нечётную функции.

1) чётная функция

Чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Чтобы дополнить нашу таблицу, мы должны для каждого отрицательного значения $x$ взять значение функции от соответствующего положительного $x$.

Дополненная таблица будет выглядеть так:

Как сделать это автоматически?

Предположим, у вас есть исходная таблица, где в столбце A находятся значения $x \ge 0$ (например, в ячейках A2:A5), а в столбце B — соответствующие значения $f(x)$ (в B2:B5). Чтобы автоматически заполнить значения для отрицательных $x$:

1. В столбец A ниже добавьте отрицательные значения $x$ (например, -1, -4, -9 в ячейки A6, A7, A8).
2. В ячейку B6 (напротив $x=-1$) введите формулу, которая найдет значение функции для $x=1$. Для этого можно использовать функцию ВПР (VLOOKUP в английской версии Excel). Формула будет выглядеть так: =ВПР(-A6; A$2:B$5; 2; ЛОЖЬ).
3. Эта формула ищет значение -A6 (т.е. 1) в первом столбце диапазона A$2:B$5 и возвращает соответствующее значение из второго столбца.
4. Протяните (скопируйте) эту формулу вниз для всех отрицательных значений $x$.

График этой функции будет симметричен относительно оси OY.

Ответ: Чтобы получить чётную функцию, нужно для отрицательных значений аргумента $-x$ задать те же значения функции, что и для соответствующих положительных $x$, т.е. $f(-x) = f(x)$. Автоматически это делается с помощью функции поиска, например, =ВПР(-A6; A$2:B$5; 2; ЛОЖЬ).

2) нечётная функция

Нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Чтобы дополнить нашу таблицу, мы должны для каждого отрицательного значения $x$ взять значение функции от соответствующего положительного $x$ и умножить его на -1. Важно отметить, что для нечётной функции, если она определена в нуле, всегда выполняется $f(0) = 0$. Поэтому мы изменим значение в нашей исходной таблице для $x=0$.

Дополненная таблица (с учётом $f(0)=0$) будет выглядеть так:

Как сделать это автоматически?

Действия аналогичны предыдущему пункту, но формула будет другой. Используя ту же структуру таблицы:

1. В ячейку B6 (напротив $x=-1$) введите формулу: = -ВПР(-A6; A$2:B$5; 2; ЛОЖЬ).
2. Знак "минус" перед функцией ВПР обеспечивает выполнение условия $f(-x) = -f(x)$.
3. Протяните эту формулу вниз для всех отрицательных значений $x$.

График этой функции будет симметричен относительно начала координат.

Ответ: Чтобы получить нечётную функцию, нужно для отрицательных значений аргумента $-x$ задать противоположные значения функции от соответствующих положительных $x$, т.е. $f(-x) = -f(x)$. Автоматически это делается с помощью формулы вида = -ВПР(-A6; A$2:B$5; 2; ЛОЖЬ).