Номер 1.8, страница 423 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.8.! Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке. Можно ли с помощью этой подпрограммы найти наибольшее и наименьшее значения этой функции?

Вопрос о возможности нахождения наибольшего и наименьшего значений функции с помощью подпрограммы, вычисляющей ее значение в любой точке, не имеет однозначного ответа. Все зависит от дополнительной информации о функции и ее области определения.

Рассмотрим два основных случая.

1. Общий случай: функция с неизвестными свойствами на произвольной области определения.

Если у нас нет никакой дополнительной информации о функции (например, о ее непрерывности, гладкости, ограниченности) или ее области определения (например, она может быть всей числовой прямой $R$), то гарантированно найти наибольшее и наименьшее значения невозможно. Вот почему:

• Бесконечная область определения. Если функция определена на всей числовой прямой, например, $f(x) = x$ или $f(x) = e^x$, она может не иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения (быть неограниченной). Любой алгоритм будет работать конечное время и проверять конечное число точек, но всегда найдется точка за пределами проверенного диапазона, где значение функции будет больше (или меньше) уже найденного.

• Разрывные функции. Функция может иметь разрывы. Представьте себе функцию, которая равна 0 во всех точках, кроме одной, например, $x = \pi$, где ее значение равно 1. $f(x) = \begin{cases} 1, & x = \pi \\ 0, & x \neq \pi \end{cases}$. Чтобы найти ее максимум, нужно передать в подпрограмму точное значение $\pi$. Однако, перебирая рациональные числа или числа с конечным числом знаков после запятой, мы никогда не попадем в эту точку. Вероятность "угадать" иррациональную точку равна нулю.

• "Игольчатые" пики. Даже если функция непрерывна, она может иметь очень узкие пики. Например, функция может быть близка к нулю почти везде, но иметь очень высокий и очень узкий пик в какой-то точке. Если шаг, с которым мы проверяем точки, окажется больше ширины этого пика, мы его просто пропустим.

Ответ: В общем случае, не имея дополнительной информации о функции и ее области определения, гарантированно найти наибольшее и наименьшее значения невозможно.

2. Частный случай: непрерывная функция на замкнутом отрезке.

Ситуация кардинально меняется, если нам известно, что функция непрерывна и мы ищем ее экстремумы на замкнутом отрезке $[a, b]$. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

В этом случае мы можем найти эти значения, но, как правило, лишь приближенно, с любой наперед заданной точностью. Точное аналитическое значение найти в общем случае все равно нельзя, так как для этого нужно было бы решить уравнение $f'(x) = 0$, а у нас есть только подпрограмма для вычисления $f(x)$.

Простейший алгоритм для поиска приближенного значения:

1. Задать достаточно малый шаг $h$, который определяет точность поиска.

2. Разбить отрезок $[a, b]$ на множество точек: $x_0 = a, x_1 = a+h, x_2 = a+2h, \dots, x_n = b$.

3. Вычислить значение функции в каждой из этих точек с помощью данной подпрограммы.

4. Найти максимальное и минимальное значения среди полученных $f(x_i)$. Они и будут приближенными наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.

Чем меньше шаг $h$, тем точнее будет результат, но тем больше вычислений потребуется. Таким образом, можно достичь любой желаемой точности, но за счет увеличения времени работы программы.

Существуют и более эффективные численные методы (например, метод золотого сечения), которые позволяют найти приближенный экстремум быстрее, чем простой перебор, но они также требуют выполнения определенных условий (например, унимодальности функции).

Ответ: Да, если известно, что функция непрерывна и задана на замкнутом отрезке, можно найти ее наибольшее и наименьшее значения с любой наперед заданной точностью, но не всегда точно.