Номер 1.12, страница 423 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.12.!* Запишите алгоритм, который для двух функций, заданных таблично, определяет, являются ли они взаимно обратными.

Две функции $f(x)$ и $g(x)$ называются взаимно обратными, если для всех $x$ из области определения $f$ выполняется равенство $g(f(x)) = x$, и для всех $y$ из области определения $g$ выполняется равенство $f(g(y)) = y$.

Когда функции заданы таблично, это означает, что для каждой пары $(x, y)$ в таблице функции $f$, где $y = f(x)$, в таблице функции $g$ должна существовать соответствующая пара $(y, x)$, где $x = g(y)$, и наоборот.

Таким образом, задача сводится к проверке того, является ли одна таблица "перевернутой" версией другой, при совпадении их размеров.

Пусть первая функция $F$ задана таблицей из $n$ пар $\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\}$, а вторая функция $G$ — таблицей из $m$ пар $\{(a_1, b_1), (a_2, b_2), ..., (a_m, b_m)\}$.

1. Проверка размеров. Сравнить количество пар в обеих таблицах ($n$ и $m$). Если $n \neq m$, функции не являются взаимно обратными на заданных областях определения. Алгоритм завершается с результатом "нет".
2. Проверка на взаимную обратность пар. Для каждой пары $(x_i, y_i)$ из таблицы функции $F$ (где $i$ пробегает значения от 1 до $n$) выполнить следующие действия:
   • Осуществить поиск в таблице функции $G$ такой пары $(a_j, b_j)$, для которой одновременно выполняются два условия: $a_j = y_i$ и $b_j = x_i$.
   • Если в результате поиска такая пара не найдена, то функции не являются взаимно обратными. Алгоритм прекращает работу с результатом "нет".
3. Вынесение решения. Если цикл из шага 2 был полностью пройден и для каждой пары из таблицы $F$ была найдена соответствующая "перевернутая" пара в таблице $G$, то функции являются взаимно обратными. Алгоритм завершается с результатом "да".

Пусть функция $F$ задана набором пар: $\{(1, 5), (2, -3), (4, 0)\}$.

А функция $G$ задана набором пар: $\{(5, 1), (0, 4), (-3, 2)\}$.

Применение алгоритма:

1. Проверка размеров. В таблице $F$ 3 пары. В таблице $G$ 3 пары. $3 = 3$. Проверка пройдена.
2. Проверка пар:
   • Берем пару $(1, 5)$ из $F$. Ищем пару $(5, 1)$ в $G$. Найдена.
   • Берем пару $(2, -3)$ из $F$. Ищем пару $(-3, 2)$ в $G$. Найдена.
   • Берем пару $(4, 0)$ из $F$. Ищем пару $(0, 4)$ в $G$. Найдена.
3. Вынесение решения. Цикл завершился успешно. Функции являются взаимно обратными.

Ответ: Функции являются взаимно обратными, если их таблицы содержат одинаковое количество пар, и для каждой пары $(x, y)$ из таблицы первой функции в таблице второй функции найдется пара $(y, x)$.