Номер 1.16, страница 423 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.16.!* Известно, что $f(x)$ и $g(x)$ — многочлены. Предположим, что у вас есть подпрограммы, позволяющие вычислить значения функций $f(x)$ и $g(x)$ в любой точке. Запишите алгоритм, который выдает промежутки знакопостоянства функции $\frac{f(x)}{g(x)}$. Будем пользоваться такими договорённостями:

1) считать нулём функции точку, в которой значение функции меньше 0,001;

2) соседние нули функции расположены на расстоянии не менее 0,1 друг от друга. Зачем нужны эти договорённости?

Запишите алгоритм, который выдаёт промежутки знакопостоянства функции $\frac{f(x)}{g(x)}$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции $H(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, необходимо сначала найти все её критические точки. Этими точками являются нули числителя $f(x)$ (нули функции $H(x)$) и нули знаменателя $g(x)$ (точки разрыва/вертикальные асимптоты). Алгоритм будет численно сканировать числовую ось для поиска этих точек.

Алгоритм состоит из следующих этапов:

1. Инициализация. Определяем параметры для поиска:
– Диапазон поиска: от $X_{min}$ до $X_{max}$ (например, от -1000 до 1000).
– Шаг сканирования: $h$. Шаг должен быть меньше минимального расстояния между нулями, чтобы не пропустить их. Согласно условию 2, выберем $h < 0,1$, например, $h = 0,01$.
– Создаем пустой список для хранения критических точек: `critical_points`.

2. Поиск критических точек.
– Начинаем цикл, в котором переменная $x$ изменяется от $X_{min}$ до $X_{max}$ с шагом $h$.
– На каждом шаге проверяем, является ли текущая точка $x$ "нулём" для $f(x)$ или $g(x)$, используя договорённость 1: проверяем условия $|f(x)| < 0,001$ или $|g(x)| < 0,001$.
– Если одно из условий выполнено, значит, мы нашли критическую точку. Добавляем значение $x$ в список `critical_points`.
– Чтобы не добавлять несколько очень близких точек, соответствующих одному и тому же нулю (из-за того, что условие $|f(x)| < 0,001$ может выполняться на целом небольшом интервале), используем договорённость 2: после нахождения критической точки $x$ увеличиваем её значение на $0,1$ ($x = x + 0,1$) и продолжаем сканирование с этой новой позиции. Это гарантирует, что следующая найденная точка будет находиться на расстоянии не менее $0,1$.

3. Формирование промежутков и определение знака.
– После завершения сканирования сортируем список `critical_points` по возрастанию. Пусть отсортированные точки это $z_1, z_2, \ldots, z_n$.
– Эти точки разбивают числовую ось (или наш диапазон $[X_{min}, X_{max}]$) на промежутки: $(X_{min}, z_1), (z_1, z_2), \ldots, (z_n, X_{max})$.
– Для каждого промежутка $(z_i, z_{i+1})$ выбираем пробную точку $x_{probe}$ (например, середину интервала $x_{probe} = (z_i + z_{i+1}) / 2$).
– Вычисляем знак функции $H(x)$ в этой точке: $sign(H(x_{probe})) = sign(\frac{f(x_{probe})}{g(x_{probe})})$.
– Выводим результат: промежуток и знак функции на нём (+ или -).

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет численно найти критические точки функции $H(x)$ и, на их основе, определить и вывести промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.

Зачем нужны эти договорённости?

Эти договорённости (условия) являются ключевыми для того, чтобы алгоритм, основанный на численных методах, мог корректно и эффективно работать в реальных условиях вычислений на компьютере.

1. Считать нулём функции точку, в которой значение функции меньше 0,001.
Эта договорённость вводит понятие допустимой погрешности (или эпсилон-окрестности нуля). При работе с вещественными числами на компьютере (числами с плавающей запятой) практически невозможно получить точное значение, равное нулю. Например, корень уравнения $x^2 - 2 = 0$ равен $\sqrt{2}$, что является иррациональным числом. Компьютер может найти лишь его приближение, при подстановке которого в функцию результат будет очень близок к нулю (например, $10^{-15}$), но не равен ему в точности. Данное условие позволяет считать такие точки "нулями" и делает задачу решаемой численными методами.

2. Соседние нули функции расположены на расстоянии не менее 0,1 друг от друга.
Эта договорённость решает две проблемы:
a) Гарантия обнаружения. Она позволяет выбрать конечный шаг сканирования $h$. Зная, что между нулями есть минимальное расстояние, мы можем выбрать шаг $h$ меньше этого расстояния (например, $h=0,01$) и быть уверенными, что наш алгоритм не "перепрыгнет" через корень, не заметив его. Без этого условия нули могли бы находиться сколь угодно близко, и для их нахождения потребовался бы бесконечно малый шаг, что делает алгоритм невыполнимым.
b) Устранение дубликатов. Из-за первой договорённости "нулём" считается не одна точка, а целый небольшой интервал вокруг истинного корня. Данное условие позволяет нам, найдя первую точку в этом интервале, считать корень найденным и "перепрыгнуть" через остальную часть этого интервала (на 0,1), чтобы не добавлять в список критических точек множество почти одинаковых значений, относящихся к одному и тому же корню. Это делает алгоритм более эффективным и результат — более чистым.

Ответ: Данные договорённости необходимы для адаптации математической задачи к реалиям компьютерных вычислений: первая вводит допустимую погрешность для нахождения корней, а вторая гарантирует, что алгоритм с конечным шагом сможет эти корни найти и не будет дублировать их.