Номер 1.13, страница 423 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.13. Приведите примеры того, как при составлении алгоритмов следует учитывать область определения используемых выражений. Какой может быть реакция компьютера, если этого не сделать? Приведите примеры наиболее распространённых ошибок.

При составлении алгоритмов крайне важно учитывать область определения (или область допустимых значений, ОДЗ) для всех используемых математических выражений и операций. Область определения — это множество входных значений, для которых выражение имеет смысл и может быть вычислено, возвращая корректный результат.

Примеры того, как при составлении алгоритмов следует учитывать область определения используемых выражений

1. Деление. Выражение $a/b$ определено только при $b \neq 0$. Алгоритм, вычисляющий частное, должен включать проверку знаменателя. Например, при вычислении $y = 1/(x-5)$, необходимо проверить, не равен ли $x$ пяти.
Пример фрагмента алгоритма:
ЕСЛИ x = 5 ТО
вывод "Ошибка: деление на ноль!"
ИНАЧЕ
y := 1 / (x - 5)
КОНЕЦ ЕСЛИ

2. Извлечение квадратного корня. Выражение $\sqrt{a}$ в области действительных чисел определено только при $a \ge 0$. Например, при решении квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$, алгоритм должен сначала вычислить $D$ и проверить его знак.
Пример фрагмента алгоритма:
D := b*b - 4*a*c
ЕСЛИ D < 0 ТО
вывод "Действительных корней нет"
ИНАЧЕ
x1 := (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 := (-b - sqrt(D)) / (2*a)
КОНЕЦ ЕСЛИ

3. Логарифм. Выражение $\log_b(a)$ определено при $a > 0$, $b > 0$ и $b \neq 1$. Алгоритм, использующий логарифмы, должен проверять, что его аргумент строго положителен.

4. Арксинус и арккосинус. Функции $\arcsin(x)$ и $\arccos(x)$ определены только для $x$ в диапазоне $[-1, 1]$. Алгоритм должен гарантировать, что аргумент попадает в этот отрезок.

5. Индексация массива. При обращении к элементу массива, например A[i], индекс i должен находиться в допустимом диапазоне (обычно от 0 до N-1, где N — размер массива). Алгоритм должен гарантировать, что индекс не выйдет за эти пределы.

Какой может быть реакция компьютера, если этого не сделать

Если не проверять входные данные выражений на принадлежность их области определения, реакция компьютера может быть разной, но почти всегда нежелательной:

• Аварийное завершение программы (сбой, "вылет"). Это частая реакция на целочисленное деление на ноль или выход за границы массива. Операционная система или среда выполнения обнаруживает критическую ошибку и принудительно останавливает программу, часто с выводом сообщения об ошибке (например, Floating point exception или Segmentation fault).
• Генерация исключения (Runtime Error). В современных языках программирования (Java, Python, C#) такие ситуации приводят к генерации исключения (например, ArithmeticException, ZeroDivisionError, IndexOutOfBoundsException). Если в программе не предусмотрен специальный блок для обработки этого исключения, программа также аварийно завершится.
• Получение некорректных результатов. Иногда программа не останавливается, но результат операции становится бессмысленным. Например, в операциях с числами с плавающей точкой:
  • Деление на ноль может дать в результате специальные значения: Infinity (бесконечность) или -Infinity.
  • Извлечение корня из отрицательного числа или логарифм отрицательного числа может дать NaN (Not a Number — не число).
  Эти значения могут "распространиться" по дальнейшим вычислениям, и в итоге программа выдаст совершенно неверный финальный результат без сообщений об ошибках, что усложняет поиск проблемы.
• Неопределённое поведение (Undefined Behavior). В языках низкого уровня, таких как C/C++, некоторые ошибки (например, выход за границы массива) могут привести к неопределённому поведению. Это означает, что результат непредсказуем: программа может случайно сработать правильно, может выдать неверный результат, "зависнуть" или создать уязвимость в безопасности.

Примеры наиболее распространённых ошибок

Исходя из вышесказанного, можно выделить следующие типичные ошибки, связанные с неучётом области определения:

1. Деление на ноль: Попытка выполнить операцию $x/y$, когда переменная $y$ в результате предыдущих вычислений или из-за неверных входных данных приняла нулевое значение.
2. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа: Попытка вычислить $\sqrt{D}$ при $D < 0$ без предварительной проверки знака $D$.
3. Выход за границы массива: Обращение к элементу массива по индексу, который меньше минимально допустимого (обычно 0) или больше либо равен размеру массива. Часто возникает из-за ошибки в условиях завершения цикла (например, i <= N вместо i < N для массива размером N).
4. Вычисление логарифма от неположительного числа: Попытка вычислить $\ln(x)$ при $x \le 0$.

Ответ: При составлении алгоритмов необходимо учитывать область определения используемых выражений, добавляя в программу проверки на допустимость входных данных для таких операций, как деление (знаменатель не должен быть равен нулю), извлечение корня (подкоренное выражение должно быть неотрицательным), вычисление логарифма (аргумент должен быть положительным), индексация массива (индекс должен быть в пределах границ массива) и др. Если этого не сделать, реакцией компьютера может быть аварийное завершение программы, генерация исключения, получение некорректных результатов (таких как Infinity или NaN) или неопределённое поведение. Наиболее распространёнными ошибками являются деление на ноль, извлечение корня из отрицательного числа и выход за границы массива.