Номер 2.1, страница 424 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

К главе 2 «Степенная функция»

2.1. С помощью табличного редактора составьте таблицу значений нескольких степенных функций для разных значений $n, n \in Z$. Каким образом заполнить эту таблицу автоматически? Постройте графики этих функций, исследуйте их взаимное расположение. Какое ограничение следует наложить на аргументы функции в зависимости от значения $n$?

С помощью табличного редактора составьте таблицу значений нескольких степенных функций для разных значений n, n ∈ Z. Каким образом заполнить эту таблицу автоматически?

Для составления таблицы значений степенной функции $y=x^n$ с различными целыми показателями $n$ в табличном редакторе (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовка таблицы. В первом столбце (например, столбец A) будут располагаться значения аргумента $x$. В последующих столбцах (B, C, D, ...) — значения функций для разных $n$. Создадим заголовки для столбцов: в ячейку A1 введем "x", в B1 — "y=x^2", в C1 — "y=x^3", в D1 — "y=x^-1", в E1 — "y=x^-2".
2. Заполнение значений аргумента. В столбец A введем значения $x$. Чтобы сделать это автоматически, можно ввести первые два значения (например, -3 в A2 и -2.5 в A3), выделить обе ячейки и протянуть за правый нижний угол выделения (маркер автозаполнения) вниз. Редактор автоматически продолжит арифметическую прогрессию.
3. Ввод формул для автоматического расчета.
   • В ячейку B2 (под заголовком "y=x^2") введите формулу для вычисления квадрата значения из ячейки A2. Формула будет выглядеть как =A2^2.
   • В ячейку C2 (для "y=x^3") введите формулу =A2^3.
   • В ячейку D2 (для "y=x^-1") введите формулу =A2^(-1) или =1/A2.
   • В ячейку E2 (для "y=x^-2") введите формулу =A2^(-2) или =1/(A2^2).
4. Автоматическое заполнение таблицы. Выделите ячейки с введенными формулами (B2, C2, D2, E2). Затем наведите курсор на маркер автозаполнения в правом нижнем углу выделенной области и протяните его вниз до последней строки со значениями $x$. Табличный редактор скопирует формулы в нижележащие ячейки, автоматически изменяя ссылки на ячейки в столбце A (A2 станет A3, A4 и т.д.).

Пример получившейся таблицы для $x$ от -2 до 2 с шагом 0.5:

Примечание: В ячейках для $x=0$ при отрицательных степенях возникает ошибка деления на ноль, так как функция в этой точке не определена.

Ответ: Таблицу можно заполнить автоматически, введя в ячейки для вычисления значений функций формулы, которые ссылаются на ячейку с аргументом $x$ (например, =A2^n), а затем скопировать эти формулы на весь диапазон с помощью маркера автозаполнения.

Постройте графики этих функций, исследуйте их взаимное расположение.

Для построения графиков в табличном редакторе нужно выделить все столбцы с данными (включая столбец $x$ и столбцы со значениями функций) и выбрать инструмент "Вставка -> Диаграмма". Наиболее подходящим типом диаграммы будет "Точечная" (или "График") с гладкими кривыми.

Исследование взаимного расположения графиков степенных функций $y = x^n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

• Случай 1: Показатель $n$ — натуральное четное число ($n=2, 4, 6, \dots$).
  • Графики являются параболами, симметричными относительно оси ординат (Oy).
  • Все графики проходят через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.
  • Чем больше показатель $n$, тем "круче" ветви параболы при $|x|>1$ и тем сильнее она "прижимается" к оси абсцисс (Ox) при $|x|<1$. То есть, если $n_2 > n_1$, то при $|x|>1$ график $y=x^{n_2}$ лежит выше графика $y=x^{n_1}$, а при $|x|<1$ — ниже.
• Случай 2: Показатель $n$ — натуральное нечетное число ($n=1, 3, 5, \dots$).
  • График для $n=1$ — прямая (биссектриса I и III координатных углов). Для $n > 1$ — кубические параболы, симметричные относительно начала координат.
  • Все графики проходят через точки $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.
  • При $x>1$ график функции с большим показателем $n$ лежит выше.
  • При $0<x<1$ график функции с большим показателем $n$ лежит ниже.
• Случай 3: Показатель $n$ — целое отрицательное нечетное число ($n=-1, -3, \dots$).
  • Графики являются гиперболами, расположенными в I и III координатных четвертях и симметричными относительно начала координат.
  • Оси координат служат асимптотами для графиков.
  • Все графики проходят через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.
  • При $x>1$ график функции с большим по модулю показателем $n$ (например, $y=x^{-3}$ по сравнению с $y=x^{-1}$) лежит ниже.
  • При $0<x<1$ график функции с большим по модулю показателем $n$ лежит выше.
• Случай 4: Показатель $n$ — целое отрицательное четное число ($n=-2, -4, \dots$).
  • Графики расположены в I и II координатных четвертях и симметричны относительно оси Oy.
  • Оси координат служат асимптотами.
  • Все графики проходят через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.
  • При $|x|>1$ график функции с большим по модулю показателем $n$ лежит ниже.
  • При $0<|x|<1$ график функции с большим по модулю показателем $n$ лежит выше.
• Случай 5: Показатель $n=0$.
  • Функция имеет вид $y=x^0=1$ при $x \neq 0$.
  • График — прямая $y=1$, из которой "выколота" точка $(0; 1)$, так как выражение $0^0$ не определено.

Ответ: Взаимное расположение графиков степенных функций $y=x^n$ зависит от четности и знака показателя $n$. Общими точками для многих из них являются $(1;1)$, $(-1;1)$ или $(-1;-1)$, а также начало координат $(0;0)$ (для $n>0$). При $|x|>1$ графики с бо́льшими положительными показателями растут быстрее, а с более отрицательными по модулю показателями — убывают быстрее к нулю. При $|x|<1$ ситуация обратная.

Какое ограничение следует наложить на аргументы функции в зависимости от значения n?

Ограничения на аргумент $x$ (область определения функции $y=x^n$) зависят от целочисленного показателя $n$ следующим образом:

• Если $n$ — натуральное число ($n > 0$, $n \in \mathbb{Z}$), то функция $y=x^n$ определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
• Если $n = 0$, то функция $y=x^0=1$ определена для всех $x$, кроме $x=0$ (так как $0^0$ не определено). Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $x \neq 0$.
• Если $n$ — целое отрицательное число ($n < 0$, $n \in \mathbb{Z}$), то функцию можно представить в виде $y=x^n = \frac{1}{x^{-n}}$, где $-n$ — натуральное число. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $x \neq 0$.

Ответ: Если показатель степени $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то ограничений на аргумент $x$ нет. Если $n$ — целое неположительное число ($n \le 0$), то на аргумент накладывается ограничение $x \neq 0$.