Страница 424 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

К главе 2 «Степенная функция»

2.1. С помощью табличного редактора составьте таблицу значений нескольких степенных функций для разных значений $n, n \in Z$. Каким образом заполнить эту таблицу автоматически? Постройте графики этих функций, исследуйте их взаимное расположение. Какое ограничение следует наложить на аргументы функции в зависимости от значения $n$?

С помощью табличного редактора составьте таблицу значений нескольких степенных функций для разных значений n, n ∈ Z. Каким образом заполнить эту таблицу автоматически?

Для составления таблицы значений степенной функции $y=x^n$ с различными целыми показателями $n$ в табличном редакторе (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовка таблицы. В первом столбце (например, столбец A) будут располагаться значения аргумента $x$. В последующих столбцах (B, C, D, ...) — значения функций для разных $n$. Создадим заголовки для столбцов: в ячейку A1 введем "x", в B1 — "y=x^2", в C1 — "y=x^3", в D1 — "y=x^-1", в E1 — "y=x^-2".
2. Заполнение значений аргумента. В столбец A введем значения $x$. Чтобы сделать это автоматически, можно ввести первые два значения (например, -3 в A2 и -2.5 в A3), выделить обе ячейки и протянуть за правый нижний угол выделения (маркер автозаполнения) вниз. Редактор автоматически продолжит арифметическую прогрессию.
3. Ввод формул для автоматического расчета.
   • В ячейку B2 (под заголовком "y=x^2") введите формулу для вычисления квадрата значения из ячейки A2. Формула будет выглядеть как =A2^2.
   • В ячейку C2 (для "y=x^3") введите формулу =A2^3.
   • В ячейку D2 (для "y=x^-1") введите формулу =A2^(-1) или =1/A2.
   • В ячейку E2 (для "y=x^-2") введите формулу =A2^(-2) или =1/(A2^2).
4. Автоматическое заполнение таблицы. Выделите ячейки с введенными формулами (B2, C2, D2, E2). Затем наведите курсор на маркер автозаполнения в правом нижнем углу выделенной области и протяните его вниз до последней строки со значениями $x$. Табличный редактор скопирует формулы в нижележащие ячейки, автоматически изменяя ссылки на ячейки в столбце A (A2 станет A3, A4 и т.д.).

Пример получившейся таблицы для $x$ от -2 до 2 с шагом 0.5:

Примечание: В ячейках для $x=0$ при отрицательных степенях возникает ошибка деления на ноль, так как функция в этой точке не определена.

Ответ: Таблицу можно заполнить автоматически, введя в ячейки для вычисления значений функций формулы, которые ссылаются на ячейку с аргументом $x$ (например, =A2^n), а затем скопировать эти формулы на весь диапазон с помощью маркера автозаполнения.

Постройте графики этих функций, исследуйте их взаимное расположение.

Для построения графиков в табличном редакторе нужно выделить все столбцы с данными (включая столбец $x$ и столбцы со значениями функций) и выбрать инструмент "Вставка -> Диаграмма". Наиболее подходящим типом диаграммы будет "Точечная" (или "График") с гладкими кривыми.

Исследование взаимного расположения графиков степенных функций $y = x^n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

• Случай 1: Показатель $n$ — натуральное четное число ($n=2, 4, 6, \dots$).
  • Графики являются параболами, симметричными относительно оси ординат (Oy).
  • Все графики проходят через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.
  • Чем больше показатель $n$, тем "круче" ветви параболы при $|x|>1$ и тем сильнее она "прижимается" к оси абсцисс (Ox) при $|x|<1$. То есть, если $n_2 > n_1$, то при $|x|>1$ график $y=x^{n_2}$ лежит выше графика $y=x^{n_1}$, а при $|x|<1$ — ниже.
• Случай 2: Показатель $n$ — натуральное нечетное число ($n=1, 3, 5, \dots$).
  • График для $n=1$ — прямая (биссектриса I и III координатных углов). Для $n > 1$ — кубические параболы, симметричные относительно начала координат.
  • Все графики проходят через точки $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.
  • При $x>1$ график функции с большим показателем $n$ лежит выше.
  • При $0<x<1$ график функции с большим показателем $n$ лежит ниже.
• Случай 3: Показатель $n$ — целое отрицательное нечетное число ($n=-1, -3, \dots$).
  • Графики являются гиперболами, расположенными в I и III координатных четвертях и симметричными относительно начала координат.
  • Оси координат служат асимптотами для графиков.
  • Все графики проходят через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.
  • При $x>1$ график функции с большим по модулю показателем $n$ (например, $y=x^{-3}$ по сравнению с $y=x^{-1}$) лежит ниже.
  • При $0<x<1$ график функции с большим по модулю показателем $n$ лежит выше.
• Случай 4: Показатель $n$ — целое отрицательное четное число ($n=-2, -4, \dots$).
  • Графики расположены в I и II координатных четвертях и симметричны относительно оси Oy.
  • Оси координат служат асимптотами.
  • Все графики проходят через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.
  • При $|x|>1$ график функции с большим по модулю показателем $n$ лежит ниже.
  • При $0<|x|<1$ график функции с большим по модулю показателем $n$ лежит выше.
• Случай 5: Показатель $n=0$.
  • Функция имеет вид $y=x^0=1$ при $x \neq 0$.
  • График — прямая $y=1$, из которой "выколота" точка $(0; 1)$, так как выражение $0^0$ не определено.

Ответ: Взаимное расположение графиков степенных функций $y=x^n$ зависит от четности и знака показателя $n$. Общими точками для многих из них являются $(1;1)$, $(-1;1)$ или $(-1;-1)$, а также начало координат $(0;0)$ (для $n>0$). При $|x|>1$ графики с бо́льшими положительными показателями растут быстрее, а с более отрицательными по модулю показателями — убывают быстрее к нулю. При $|x|<1$ ситуация обратная.

Какое ограничение следует наложить на аргументы функции в зависимости от значения n?

Ограничения на аргумент $x$ (область определения функции $y=x^n$) зависят от целочисленного показателя $n$ следующим образом:

• Если $n$ — натуральное число ($n > 0$, $n \in \mathbb{Z}$), то функция $y=x^n$ определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
• Если $n = 0$, то функция $y=x^0=1$ определена для всех $x$, кроме $x=0$ (так как $0^0$ не определено). Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $x \neq 0$.
• Если $n$ — целое отрицательное число ($n < 0$, $n \in \mathbb{Z}$), то функцию можно представить в виде $y=x^n = \frac{1}{x^{-n}}$, где $-n$ — натуральное число. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $x \neq 0$.

Ответ: Если показатель степени $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то ограничений на аргумент $x$ нет. Если $n$ — целое неположительное число ($n \le 0$), то на аргумент накладывается ограничение $x \neq 0$.

2.2.!* В языке программирования нет операции извлечения корня $n$-й степени. Пользуясь определением корня $n$-й степени, запишите алгоритм для нахождения корня $n$-й степени из данного числа (считайте, что искомый корень найден, если $n$-я степень найденного корня отличается от данного числа менее чем на 0,01).

Задача состоит в том, чтобы найти такое число $x$, которое является корнем $n$-й степени из числа $A$. По определению, это означает, что $x^n = A$. Поскольку в языке программирования нет операции извлечения корня, мы должны найти $x$ итерационно. Условие остановки алгоритма — когда $n$-я степень найденного нами приближения $x$ отличается от исходного числа $A$ менее чем на 0,01. Математически это записывается как $|x^n - A| < 0.01$.

Для решения этой задачи идеально подходит метод двоичного поиска (дихотомии). Мы будем искать корень $x$ на некотором числовом отрезке $[L, R]$, постоянно сужая его в два раза.

Принцип работы алгоритма:

1. Определяем начальный отрезок поиска $[L, R]$. Если мы ищем корень из числа $A \ge 1$, то очевидно, что корень будет находиться в диапазоне от 0 до $A$. Если же $0 \le A < 1$, то корень будет находиться в диапазоне от $A$ до 1. Чтобы учесть оба случая, можно взять начальный отрезок $[0, \max(A, 1.0)]$.
2. Находим середину этого отрезка: $M = (L + R) / 2$. Это наше текущее предположение для корня $x$.
3. Возводим $M$ в степень $n$ и сравниваем результат $M^n$ с исходным числом $A$.
4. • Если $M^n$ больше $A$, значит, наше предположение $M$ слишком велико. Искомый корень находится левее, поэтому мы сужаем диапазон поиска до $[L, M]$.
   • Если $M^n$ меньше $A$, значит, наше предположение $M$ слишком мало. Искомый корень находится правее, поэтому мы сужаем диапазон поиска до $[M, R]$.
5. Мы повторяем шаги 2-4 до тех пор, пока не будет выполнено условие $|M^n - A| < 0.01$. Как только условие выполнено, $M$ является искомым корнем с заданной точностью.

Словесный алгоритм:

1. Ввод: Получить на вход неотрицательное число $A$ и натуральную степень корня $n$.
2. Инициализация:
   • Установить левую границу поиска $L = 0$.
   • Установить правую границу поиска $R = A$, если $A \ge 1$, или $R = 1.0$, если $A < 1$. (Универсально: $R = \max(A, 1.0)$).
   • Задать требуемую точность $E = 0.01$.
3. Основной цикл:
   1. Вычислить середину текущего отрезка: $X = (L + R) / 2$.
   2. Вычислить $P = X^n$. Для этого можно использовать цикл, умножая $X$ само на себя $n$ раз, или встроенную функцию возведения в степень (которая обычно доступна).
   3. Проверить условие остановки: если $|P - A| < E$, то перейти к шагу 5.
   4. Скорректировать границы поиска:
      • Если $P > A$, то присвоить $R = X$.
      • Иначе (если $P < A$), присвоить $L = X$.
   5. Вернуться к шагу 3(a).
4. Вывод: Вывести значение $X$ как результат.

Ответ: Алгоритм для нахождения корня $n$-й степени, основанный на методе двоичного поиска, заключается в итеративном сужении диапазона возможных значений корня. На каждом шаге вычисляется середина диапазона $X$, возводится в степень $n$, и в зависимости от сравнения $X^n$ с исходным числом $A$, отбрасывается либо левая, либо правая половина диапазона. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность $|X^n - A| < 0.01$.

2.3.!* Пользуясь результатами задачи 2.2, запишите алгоритм, который по входным значениям $a$, $m$ и $n$ выдаёт значение $a^{\frac{m}{n}}$. Какие проверки входных данных надо сделать и какие частные случаи рассмотреть?

Для вычисления значения $a^{\frac{m}{n}}$ используется тождество $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. Этот способ является предпочтительным по сравнению с вычислением $\sqrt[n]{a^m}$, поскольку он позволяет избежать работы с очень большими или очень маленькими промежуточными значениями $a^m$, что может привести к переполнению или потере точности вычислений.

Алгоритм состоит из трех основных частей: проверка входных данных и обработка частных случаев, вычисление корня n-ой степени и возведение результата в степень m.

1. Проверка входных данных и частных случаев. Перед началом вычислений необходимо провести ряд проверок, чтобы убедиться в корректности данных и обработать особые ситуации, которые имеют простое, заранее известное решение. Эти проверки и случаи подробно рассмотрены в следующем разделе.

2. Упрощение дроби. Для повышения точности и эффективности вычислений рекомендуется сократить дробь $\frac{m}{n}$. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя: $g = \text{НОД}(|m|, |n|)$, и затем обновить значения: $m' = m/g$, $n' = n/g$. Дальнейшие вычисления проводятся с $m'$ и $n'$.

3. Нормализация знаменателя. Если после упрощения $n' < 0$, следует изменить знаки у числителя и знаменателя: $n'' = -n'$, $m'' = -m'$. Это позволяет всегда работать с положительным показателем корня.

4. Определение знака результата. Если $a < 0$ (это возможно только если $n$ нечетно, что проверяется на первом шаге), то знак итогового результата зависит от четности $m$. Если $m$ нечетно, результат будет отрицательным, если $m$ четно — положительным. После определения итогового знака можно продолжить вычисления с $|a|$.

5. Вычисление корня $d = \sqrt[n]{|a|}$. Эта операция выполняется численными методами, например, методом двоичного поиска (бисекции) или методом Ньютона, с заданной точностью $\epsilon$.

   • Например, для метода бисекции, если $|a| \ge 1$, искомый корень находится в диапазоне $[1, |a|]$. Если $0 < |a| < 1$, корень находится в диапазоне $[|a|, 1]$.
   • Далее итеративно сужается диапазон поиска до тех пор, пока не будет найдено значение $d$ такое, что $|d^n - |a|| < \epsilon$.

6. Возведение в степень $y = d^m$. Полученный корень $d$ возводится в целую степень $m$. Если показатель степени $m$ отрицательный, сначала вычисляется $d^{|m|}$, а затем находится обратное значение. Для эффективного вычисления целочисленной степени используется алгоритм быстрого возведения в степень (бинарное возведение в степень).

7. Формирование итогового результата. К полученному значению $y$ применяется знак, определенный на шаге 4 (если $a$ было отрицательным).

Эти проверки необходимо выполнить в самом начале алгоритма, чтобы обработать некорректные входные данные и ситуации, которые имеют простое решение без выполнения сложных вычислений.

• Знаменатель $n = 0$. Показатель степени $\frac{m}{n}$ не определен, так как это приводит к делению на ноль. Алгоритм должен сообщить об ошибке.

• Основание $a < 0$ и четный знаменатель $n$. Корень четной степени из отрицательного числа не определен в поле действительных чисел. Алгоритм должен сообщить об ошибке.

• Основание $a=0$.

  • Если показатель $m/n > 0$ (т.е. $m$ и $n$ одного знака), то $0^{\frac{m}{n}} = 0$.
  • Если показатель $m/n < 0$ (т.е. $m$ и $n$ разных знаков), то происходит деление на ноль ($1/0^{|m/n|}$), и операция не определена. Алгоритм должен сообщить об ошибке.
  • Если $m=0$ (и $n \ne 0$), возникает неопределенность $0^0$. В большинстве языков программирования и математических пакетов принимается, что $0^0 = 1$.

• Числитель $m=0$. Если $m=0$ и $n \ne 0$, то показатель равен нулю. Для любого $a \ne 0$, $a^0 = 1$. Случай $a=0$ рассмотрен выше.

• Основание $a=1$. Для любого определенного показателя $m/n$, $1^{\frac{m}{n}} = 1$.

• Знаменатель $n=1$. Задача сводится к возведению в целую степень $a^m$, что является более простой операцией, не требующей извлечения корня.

Ответ: Алгоритм вычисления $a^{\frac{m}{n}}$ должен начинаться с проверок входных данных на корректность (например, $n \ne 0$; $a \ge 0$ при четном $n$) и обработки частных случаев ($a=0, a=1, m=0$). Основная часть алгоритма заключается в последовательном выполнении двух операций: вычисление корня $d = \sqrt[n]{a}$ с помощью численного метода (например, бисекции) и возведение результата $d$ в целую степень $m$ (например, с помощью алгоритма бинарного возведения в степень). Выбор порядка операций $(\sqrt[n]{a})^m$ является предпочтительным для численной устойчивости.

2.4.!* Пусть имеется несколько неравенств и для каждого из них записаны их решения в виде объединения некоторого количества промежутков. Придумайте способ представления этих промежутков в виде, удобном для компьютерной обработки. Запишите алгоритм, который решает систему этих неравенств и выдаёт результат также в виде объединения некоторого количества промежутков.

Способ представления промежутков

Для удобной компьютерной обработки решение каждого неравенства, представляющее собой объединение промежутков, можно хранить в виде списка (или массива) объектов (или структур), где каждый объект описывает один непрерывный промежуток.

Каждый промежуток можно представить структурой со следующими полями:

• left_value: числовое значение левой границы промежутка. Для представления $-\infty$ можно использовать специальное значение, например, константу -Infinity.
• right_value: числовое значение правой границы промежутка. Для представления $+\infty$ можно использовать константу +Infinity.
• left_inclusive: булево (логическое) значение, показывающее, включена ли левая граница в промежуток (true для `[` и false для `(`).
• right_inclusive: булево значение, показывающее, включена ли правая граница в промежуток (true для `]` и false для `)`).

Примеры:

• Промежуток $ [2, 5) $ будет представлен как:
  { left_value: 2, right_value: 5, left_inclusive: true, right_inclusive: false }
• Промежуток $ (-\infty, 10] $ будет представлен как:
  { left_value: -Infinity, right_value: 10, left_inclusive: false, right_inclusive: true }

Таким образом, решение одного неравенства, например $ x \in (-\infty, 0) \cup [3, 7) $, будет представлено как массив из двух таких структур:

[ {left_value: -Infinity, right_value: 0, left_inclusive: false, right_inclusive: false}, {left_value: 3, right_value: 7, left_inclusive: true, right_inclusive: false} ]

Для удобства дальнейшей обработки предполагается, что внутри этого списка промежутки отсортированы по возрастанию их левых границ и не пересекаются.

Ответ: Каждый промежуток представляется в виде объекта с четырьмя полями: значение левой границы, значение правой границы, флаг включения левой границы и флаг включения правой границы. Решение неравенства представляется в виде отсортированного списка (массива) таких объектов.

Алгоритм, который решает систему этих неравенств

Решение системы неравенств — это нахождение пересечения множеств решений каждого из неравенств. Если решения неравенств $ S_1, S_2, \dots, S_N $, то решение системы есть $ S_{системы} = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_N $.

Алгоритм может быть построен на последовательном нахождении пересечения. Сначала находим пересечение решений первых двух неравенств, затем результат пересекаем с решением третьего неравенства и так далее.

Общий алгоритм:

1. Пусть имеется $ N $ списков промежутков $ L_1, L_2, \dots, L_N $, каждый из которых является решением одного из неравенств.
2. Инициализируем итоговый список решений: Result = L_1.
3. В цикле от $ i = 2 $ до $ N $ вычисляем новое значение Result как пересечение текущего Result и списка $ L_i $: Result = Intersect(Result, L_i).
4. После завершения цикла список Result будет содержать решение системы неравенств.

Ключевая часть — алгоритм нахождения пересечения двух списков промежутков Intersect(A, B).

На вход подаются два отсортированных и непересекающихся списка промежутков A и B. Алгоритм использует метод двух указателей.

1. Создаем пустой список для результата пересечения IntersectionResult.
2. Инициализируем два указателя: ptrA = 0 для списка A и ptrB = 0 для списка B.
3. Пока оба указателя не вышли за пределы своих списков (ptrA < A.length и ptrB < B.length):
   1. Берем текущие промежутки: intervalA = A[ptrA] и intervalB = B[ptrB].
   2. Находим их возможное пересечение. Левая граница пересечения — это максимум из левых границ: $ l = \max(intervalA.left\_value, intervalB.left\_value) $. Правая граница — это минимум из правых границ: $ r = \min(intervalA.right\_value, intervalB.right\_value) $.
   3. Если $ l < r $, или $ l=r $ и обе границы в этой точке включающие, то пересечение непустое. Создаем новый промежуток-пересечение и добавляем его в IntersectionResult. Флаги включения границ для нового промежутка определяются по более сложным правилам (например, левая граница $ l $ будет включающей, только если она была включающей в том исходном промежутке, из которого она взята, а в другом промежутке точка $ l $ также находилась внутри).
   4. Сдвигаем указатель того промежутка, который заканчивается раньше. Если intervalA.right_value < intervalB.right_value, увеличиваем ptrA. В противном случае увеличиваем ptrB. (Если правые границы равны, можно сдвинуть любой из указателей).
4. Возвращаем список IntersectionResult. Он уже будет отсортирован и состоять из непересекающихся промежутков.

Ответ: Алгоритм заключается в последовательном нахождении пересечения множеств решений. Начиная с решения первого неравенства, результат последовательно пересекается с решениями всех остальных неравенств. Пересечение двух множеств (представленных списками промежутков) находится с помощью эффективного алгоритма двух указателей, который за один проход находит все общие интервалы.

3.1. Запишите алгоритм для перевода градусной меры угла в радианную и наоборот.

Алгоритм перевода градусной меры угла в радианную
Для перевода величины угла из градусов в радианы необходимо использовать основное соотношение: $180^\circ = \pi$ радиан. Из этого соотношения следует, что $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан.
Алгоритм:
1. Взять значение угла в градусах (пусть это будет $\alpha_{deg}$).
2. Умножить это значение на число $\pi$.
3. Разделить полученный результат на 180.
Итоговая формула для перевода: $\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}$.
Ответ:

Алгоритм перевода радианной меры угла в градусную
Для обратного перевода из радиан в градусы используется то же соотношение: $\pi$ радиан $= 180^\circ$. Отсюда следует, что 1 радиан $= \frac{180^\circ}{\pi}$.
Алгоритм:
1. Взять значение угла в радианах (пусть это будет $\alpha_{rad}$).
2. Умножить это значение на 180.
3. Разделить полученный результат на число $\pi$.
Итоговая формула для перевода: $\alpha_{deg} = \alpha_{rad} \cdot \frac{180}{\pi}$.
Ответ:

3.2. Научитесь вычислять тригонометрические функции числового аргумента с помощью микрокалькулятора; программы «Калькулятор» из набора стандартных программ на компьютере. В каких единицах должен измеряться исходный угол?

Для вычисления тригонометрических функций с помощью калькулятора (как физического микрокалькулятора, так и стандартной программы «Калькулятор» на компьютере) необходимо выполнить несколько простых шагов. Самое важное — правильно выбрать единицы измерения угла.

Как вычислять на калькуляторе

Общий алгоритм действий для большинства калькуляторов:

1. Выберите режим измерения углов. Это самый важный шаг. На калькуляторе обычно есть кнопка или переключатель для выбора режима:
   • DEG (Degrees) — градусы.
   • RAD (Radians) — радианы.
   • GRAD (Gradians) — грады.
   В программе «Калькулятор» на компьютере для этого сначала нужно переключиться в «Инженерный» (Scientific) вид.
2. Введите значение угла. Например, если нужно найти синус 30 градусов, введите число 30.
3. Нажмите на кнопку нужной функции. Это кнопки sin, cos, tan и другие.
4. Прочитайте результат на дисплее.

Пример 1: Вычислить $\sin(45°)$.

1. Убедитесь, что калькулятор находится в режиме DEG (градусы).
2. Введите число 45.
3. Нажмите кнопку sin.
4. Результат на дисплее будет примерно 0.7071067..., что является десятичным представлением числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Пример 2: Вычислить $\cos(2)$.

Когда аргумент функции указан как простое число без знака градуса (°), по умолчанию подразумеваются радианы.

1. Переключите калькулятор в режим RAD (радианы).
2. Введите число 2.
3. Нажмите кнопку cos.
4. Результат на дисплее будет примерно -0.4161468...

В каких единицах должен измеряться исходный угол?

Выбор единиц измерения угла полностью зависит от условия задачи. Калькулятор позволяет работать с разными системами, но основными являются градусы и радианы.

• Градусы (Degrees): Это наиболее привычная единица измерения углов. Полный круг содержит $360°$. Если в задаче угол указан со значком градуса (например, $30°, 90°, 180°$), то калькулятор необходимо переключить в режим DEG.
• Радианы (Radians): Это стандартная единица измерения углов в высшей математике, физике и программировании. Она определяется через длину дуги окружности. Полный круг содержит $2\pi$ радиан. Связь между градусами и радианами выражается формулой: $180° = \pi$ радиан.
  Понятие «числовой аргумент», упомянутое в вопросе, в математическом анализе почти всегда означает, что аргумент является действительным числом, выражающим меру угла в радианах. Если вы видите запись вида $\sin(1)$, $\cos(\pi/2)$ или $\tan(3.5)$, то вычисления следует проводить в режиме RAD.

Таким образом, перед вычислением всегда нужно определить, в каких единицах дан угол в условии, и выставить на калькуляторе соответствующий режим.

Ответ: Исходный угол должен измеряться в тех единицах, которые указаны в условии задачи. Если угол задан в градусах (например, $45°$), калькулятор должен быть в режиме градусов (DEG). Если же угол задан как числовой аргумент (например, 2, $\pi$, $\frac{\pi}{4}$), то по стандарту в математике он измеряется в радианах, и калькулятор должен быть переключен в режим радиан (RAD).

3.3. Найдите в изучаемом языке программирования стандартные функции для вычисления тригонометрических функций числового аргумента.

В большинстве современных языков программирования стандартные тригонометрические функции доступны через встроенные математические библиотеки или модули. Важно помнить, что почти все эти функции принимают в качестве аргумента угол, выраженный в радианах, а не в градусах.

Ниже приведены примеры для нескольких популярных языков программирования.

Python

В Python тригонометрические функции находятся в модуле math. Для их использования необходимо сначала импортировать этот модуль.

import math

• math.sin(x): вычисляет синус $sin(x)$.
• math.cos(x): вычисляет косинус $cos(x)$.
• math.tan(x): вычисляет тангенс $tan(x)$.
• math.asin(x): вычисляет арксинус $arcsin(x)$.
• math.acos(x): вычисляет арккосинус $arccos(x)$.
• math.atan(x): вычисляет арктангенс $arctan(x)$.
• math.atan2(y, x): вычисляет арктангенс $arctan(y/x)$ с учетом знаков аргументов, чтобы определить квадрант.
• math.radians(d): преобразует угол $d$ из градусов в радианы.
• math.degrees(r): преобразует угол $r$ из радиан в градусы.
• math.pi: константа $\pi$.

C++

В C++ функции для тригонометрических вычислений находятся в заголовочном файле <cmath>.

#include <cmath>

• sin(x): вычисляет синус $sin(x)$.
• cos(x): вычисляет косинус $cos(x)$.
• tan(x): вычисляет тангенс $tan(x)$.
• asin(x): вычисляет арксинус $arcsin(x)$.
• acos(x): вычисляет арккосинус $arccos(x)$.
• atan(x): вычисляет арктангенс $arctan(x)$.
• atan2(y, x): вычисляет арктангенс $arctan(y/x)$ с учетом знаков.

Эти функции перегружены для типов float, double и long double. Константа $\pi$ не является частью стандарта, но часто определяется как M_PI.

Java

В Java тригонометрические функции реализованы как статические методы класса Math, который является частью пакета java.lang и доступен по умолчанию.

• Math.sin(a): вычисляет синус $sin(a)$.
• Math.cos(a): вычисляет косинус $cos(a)$.
• Math.tan(a): вычисляет тангенс $tan(a)$.
• Math.asin(a): вычисляет арксинус $arcsin(a)$.
• Math.acos(a): вычисляет арккосинус $arccos(a)$.
• Math.atan(a): вычисляет арктангенс $arctan(a)$.
• Math.atan2(y, x): вычисляет арктангенс $arctan(y/x)$ с учетом знаков.
• Math.toRadians(angdeg): преобразует угол из градусов в радианы.
• Math.toDegrees(angrad): преобразует угол из радиан в градусы.
• Math.PI: константа $\pi$.

JavaScript

В JavaScript тригонометрические функции являются методами глобального объекта Math.

• Math.sin(x): вычисляет синус $sin(x)$.
• Math.cos(x): вычисляет косинус $cos(x)$.
• Math.tan(x): вычисляет тангенс $tan(x)$.
• Math.asin(x): вычисляет арксинус $arcsin(x)$.
• Math.acos(x): вычисляет арккосинус $arccos(x)$.
• Math.atan(x): вычисляет арктангенс $arctan(x)$.
• Math.atan2(y, x): вычисляет арктангенс $arctan(y/x)$ с учетом знаков.
• Math.PI: константа $\pi$.

Ответ: Стандартные тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс и обратные им (арксинус, арккосинус, арктангенс), доступны в большинстве языков программирования через встроенные математические библиотеки (например, модуль math в Python, заголовочный файл <cmath> в C++, класс Math в Java и JavaScript). Основными функциями являются sin(), cos(), tan(), asin(), acos(), atan(). Аргументы этим функциям передаются в радианах.

3.4. Какие инструменты графического редактора следует применять для построения графика периодической функции?

Для эффективного построения графика периодической функции в графическом редакторе следует использовать инструменты, позволяющие автоматизировать повторяющиеся действия. Основной принцип заключается в том, чтобы детально прорисовать только один период функции, а затем размножить его. Для этой задачи лучше всего подходят векторные графические редакторы (такие как Adobe Illustrator, Inkscape, CorelDRAW), так как они позволяют работать с объектами (линиями, кривыми) и точно их копировать и трансформировать.

Процесс построения можно разбить на следующие этапы с использованием соответствующих инструментов:

1. Построение координатной системы
Для создания осей координат и разметки используются базовые инструменты:

• Линия (Line): для рисования прямых линий осей абсцисс (X) и ординат (Y). Чтобы линии были строго горизонтальными или вертикальными, обычно используется зажатая клавиша Shift. Этим же инструментом создаются короткие засечки на осях.
• Текст (Text): для добавления подписей осей (x, y), начала координат (0) и числовых значений на засечках.
• Выравнивание и распределение (Align and Distribute): этот набор функций позволяет точно и равномерно распределить засечки вдоль осей, что важно для аккуратного графика.

2. Построение одного периода функции
Выбор инструмента на этом этапе зависит от вида самой функции:

• Для гладких, криволинейных графиков, таких как синусоида ($y = \sin(x)$), наиболее подходящим является инструмент Кривая Безье (Bézier Curve) или Перо (Pen). Он позволяет создавать точные и плавные кривые с помощью опорных точек и управляющих ими рычагов.
• Для функций, график которых состоит из прямых отрезков (например, пилообразная или треугольная волна), достаточно использовать инструмент Линия (Line) или Ломаная линия (Polyline).

3. Копирование и размножение периода
Это ключевой шаг, использующий главное свойство периодической функции.

• Выделение (Selection) и Группировка (Group): сначала необходимо выделить все элементы, из которых состоит нарисованный период, и сгруппировать их в один объект. Это упростит дальнейшие манипуляции.
• Копировать (Copy) и Вставить (Paste), или Дублировать (Duplicate): создается копия сгруппированного периода.
• Перемещение (Move): копия перемещается и пристыковывается к концу исходного периода.
• Повторить трансформацию (Transform Again): это самый важный и эффективный инструмент для данной задачи. После того как первая копия была создана и перемещена на нужное расстояние (равное длине периода), эта команда (часто вызываемая по Ctrl+D или Cmd+D) автоматически создает следующую копию с таким же смещением. Многократное нажатие позволяет быстро заполнить всю необходимую длину оси X.

Ответ: Для построения графика периодической функции следует использовать инструменты: Линия для создания осей; Кривая Безье (или Линия) для отрисовки одного периода; и, что самое главное, инструменты Группировка, Копирование и функцию Повторить трансформацию для быстрого размножения этого периода вдоль оси.