Страница 417 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Тригонометрическая подстановка.

Рекомендуемая литература:

1) Алексеев Р., Курляндчик Л. Тригонометрические подстановки // Квант. 1995. № 2.

2) Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре // Бюро Квантум, приложение к журналу «Квант». 1995. № 3.

3) Смоляков А. Н. Тригонометрические подстановки в уравнения и неравенства // Математика в школе. 1996. № 1.

4) Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. — М. : Изд-во МГУ, 1991.

5) Фалин Г. И., Фалин А. И. Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ. — М. : БИНОМ, 2006.

Рекомендуемая литература:

1. 1) Алексеев Р., Курляндчик Л. Тригонометрические подстановки // Квант. 1995. № 2.

2. 2) Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре // Бюро Квантум, приложение к журналу «Квант». 1995. № 3.

3. 3) Смоляков А. Н. Тригонометрические подстановки в уравнения и неравенства // Математика в школе. 1996. № 1.

4. 4) Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. — М. : Изд-во МГУ, 1991.

5. 5) Фалин Г. И., Фалин А. И. Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ. — М. : БИНОМ, 2006.

6. Числа Каталане.

Рекомендуемая литература:

1) Спивак А. Числа Каталане // Квант. 2004. № 3.

2) Бурман Ю., Спивак А. Автостоянки, перестановки и деревья // Квант. 2004. № 4.

3) Сендеров В., Френкин Б. Гипотеза Каталане // Квант. 2007. № 4.

4) Гарднер М. Числа Каталане // Квант. 1978. № 7.

5) Шень А. Программирование: теоремы и задачи. — М. : МЦНМО, 2004.

Определение и формулы

Изображение относится к теме "Числа Каталана". Числа Каталана — это последовательность натуральных чисел, которая возникает во многих задачах комбинаторики. Они обозначаются как $C_n$ и названы в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана.

Вот несколько классических примеров задач, решением которых являются числа Каталана:

• $C_n$ — это количество правильных скобочных последовательностей длины $2n$, то есть последовательностей, состоящих из $n$ открывающих и $n$ закрывающих скобок, в которых баланс скобок нигде не становится отрицательным. Например, для $n=3$ существует $C_3=5$ таких последовательностей: ((())), (()()), (())(), ()(()), ()()().
• $C_n$ — это количество способов разрезать выпуклый $(n+2)$-угольник на треугольники с помощью непересекающихся диагоналей.
• $C_n$ — это количество путей Дика (Dyck paths) длины $2n$. Это пути на квадратной сетке из точки $(0,0)$ в точку $(2n,0)$ с шагами "вверх-вправо" $(+1, +1)$ и "вниз-вправо" $(+1, -1)$, которые никогда не опускаются ниже оси абсцисс. Или, что эквивалентно, количество путей из $(0,0)$ в $(n,n)$ с шагами "вправо" и "вверх", которые не поднимаются выше главной диагонали.

Первые несколько чисел Каталана для $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots$ равны: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...

Для вычисления чисел Каталана используются следующие формулы:

1. Явная формула через биномиальные коэффициенты (наиболее распространенная): $$ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!} $$

2. Рекуррентная формула: $$ C_0 = 1 \quad \text{и} \quad C_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i} \quad \text{для } n \ge 0 $$ Это означает, что каждое следующее число Каталана является сверткой предыдущих членов последовательности. Например, $C_3 = C_0C_2 + C_1C_1 + C_2C_0 = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 5$.

Ответ: Числа Каталана — это последовательность $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$, которая является решением многих комбинаторных задач, таких как подсчет правильных скобочных последовательностей, триангуляций многоугольника и путей Дика.

Рекомендуемая литература

На изображении приведен следующий список рекомендованной литературы по данной теме:

1. Спивак А. Числа Каталана // Квант. 2004. № 3.
2. Бурман Ю., Спивак А. Автостоянки, перестановки и деревья // Квант. 2004. № 4.
3. Сендеров В., Френкин Б. Гипотеза Каталана // Квант. 2007. № 4.
4. Гарднер М. Числа Каталана // Квант. 1978. № 7.
5. Шень А. Программирование: теоремы и задачи. — М. : МЦНМО, 2004.

Ответ: Список литературы по теме "Числа Каталана" представлен выше.

7. История возникновения дифференциального и интегрального исчислений.

Рекомендуемая литература:

1) Юшкевич А. П. Из истории возникновения математического анализа. — М. : Знание, 1985.

2) Рыбников К. А. История математики : в 2 ч. — М. : Моск. унив., 1960.

Возникновение дифференциального и интегрального исчислений, составивших основу математического анализа, не было единовременным актом, а представляло собой длительный эволюционный процесс, в котором можно выделить несколько ключевых этапов. Идеи, легшие в основу анализа, зародились еще в античности и постепенно развивались на протяжении многих веков, пока не были систематизированы и объединены в трудах Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница в XVII веке.

Первые идеи, связанные с интегральным исчислением, появились в Древней Греции. Для вычисления площадей и объемов сложных фигур математики использовали метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским. Вершины в применении этого метода достиг Архимед (III в. до н.э.), который с его помощью смог вычислить площадь сегмента параболы, объем шара и других тел. Метод исчерпывания состоял в последовательном приближении искомой величины с помощью вписанных и описанных фигур, площади или объемы которых известны. Это был идейный предшественник современного понятия интеграла как предела интегральных сумм.

Новый толчок развитию этих идей дал XVII век. Важнейшим шагом стал метод неделимых, разработанный Бонавентурой Кавальери. Он рассматривал плоскую фигуру как состоящую из бесконечного числа параллельных отрезков ("неделимых"), а тело — из бесконечного числа параллельных плоских сечений. Хотя метод не был строгим, он позволял получать правильные результаты для широкого класса задач на вычисление площадей и объемов.

Параллельно развивались методы, предвосхитившие дифференциальное исчисление. Рене Декарт, создав аналитическую геометрию, заложил основу для изучения кривых с помощью уравнений. Пьер де Ферма разработал метод нахождения экстремумов (максимумов и минимумов) функций, который по сути был эквивалентен нахождению нулей производной. Он же предложил способ проведения касательных к кривым, основанный на рассмотрении секущей, проходящей через две бесконечно близкие точки кривой. Значительный вклад внес и учитель Ньютона, Исаак Барроу, который в своих «Лекциях по геометрии» установил фундаментальную взаимосвязь между задачей о проведении касательных (дифференцирование) и задачей о вычислении площадей (интегрирование), сформулировав геометрический эквивалент основной теоремы анализа.

Кульминацией развития этих идей стало создание дифференциального и интегрального исчислений как единой системы в работах Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница. Они, работая независимо друг от друга, обобщили и систематизировали методы своих предшественников, создав универсальный аппарат анализа.

Исаак Ньютон (Англия) разработал свой вариант исчисления в 1665–1667 годах, назвав его методом флюксий и флюент. В его подходе переменные величины (флюенты) рассматривались как изменяющиеся во времени, а их скорости изменения (флюксии) были аналогами производных. Его работа была тесно связана с задачами механики, в частности, с изучением движения тел под действием сил. Ньютон активно использовал разложение функций в бесконечные ряды, что позволяло ему легко их дифференцировать и интегрировать. Однако он не спешил с публикацией своих результатов.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (Германия) создал свою версию анализа в 1675–1684 годах. Его подход был более формальным и абстрактным. Он ввел понятия дифференциала ($dx$, $dy$) как бесконечно малого приращения переменных и интеграла как суммы бесконечного числа таких дифференциалов. Лейбниц создал чрезвычайно удачную символику, которая используется и по сей день: $\frac{dy}{dx}$ для производной и $\int$ для интеграла. Он же сформулировал основные правила дифференцирования (производная произведения, частного и т.д.). Свои результаты Лейбниц опубликовал в 1684 и 1686 годах, опередив Ньютона.

Главным достижением обоих ученых было осознание и доказательство того, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Этот факт составляет содержание основной теоремы анализа, ключевым выражением которой является формула Ньютона-Лейбница:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Независимое создание анализа двумя учеными привело к ожесточенному спору о приоритете, который длился много лет. Сегодня историки науки признают, что оба математика внесли решающий и независимый вклад в создание исчисления.

Несмотря на свою мощь, первоначальные версии анализа Ньютона и Лейбница не имели строгого логического обоснования. Понятие бесконечно малой величины было интуитивным и противоречивым, что давало повод для критики (например, знаменитая критика епископа Беркли, назвавшего бесконечно малые "призраками усопших количеств").

Создание строгого фундамента для математического анализа произошло в XIX веке. Ключевую роль в этом сыграло введение понятия предела. Французский математик Огюстен Луи Коши в 1820-х годах построил теорию на основе этого понятия. Он дал строгие определения производной и интеграла:

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ была определена как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Определенный интеграл был определен как предел интегральных сумм. Окончательную строгость теории придали работы немецкого математика Карла Вейерштрасса, который ввел общепринятое сегодня $(\varepsilon, \delta)$-определение предела, полностью исключив из анализа туманные представления о бесконечно малых.

Таким образом, история создания дифференциального и интегрального исчислений — это путь от интуитивных геометрических и физических задач к мощной и логически строгой математической теории, которая стала фундаментом для всей современной науки и техники.

Ответ: История возникновения дифференциального и интегрального исчислений представляет собой многовековой процесс, начавшийся с «метода исчерпывания» в античности (Архимед), продолжившийся в трудах математиков XVII века (Кавальери, Ферма, Барроу) и завершившийся созданием целостной теории Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем, которые независимо друг от друга открыли основную теорему анализа. Позднее, в XIX веке, благодаря работам Коши и Вейерштрасса, исчисление получило строгое логическое обоснование на основе понятия предела.

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Рекомендуемая литература:

1) Гурова З. И. и др. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами / под ред. А. И. Кибзуна — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002.

2) Мир математики : в 40 т. Т. 14 : Антонио Дуран. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых / пер. с исп. — М. : Де Агостини, 2014.

3) Мир математики : в 40 т. Т. 18 : Энрике Грасиан. Открытие границ. Бесконечность в математике / пер. с исп. — М. : Де Агостини, 2014.

4) Натансон И. П. Суммирование бесконечно малых величин. — 3-е изд., испр. — М. : Физматгиз, 1960. (Популярные лекции по математике; вып. 12).

Бесконечно малые функции

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой при $x \to a$ (где $a$ может быть числом или одной из бесконечностей $\infty, -\infty, +\infty$), если ее предел в этой точке равен нулю. Математически это записывается так:

$\lim_{x \to a} \alpha(x) = 0$

Это означает, что для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такая окрестность точки $a$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $a$) выполняется неравенство $|\alpha(x)| < \varepsilon$.

Примеры:
1. Функция $\alpha(x) = x^2$ является бесконечно малой при $x \to 0$, так как $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$.
2. Функция $\alpha(x) = \frac{1}{x-1}$ является бесконечно малой при $x \to \infty$, так как $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x-1} = 0$.
3. Функция $\alpha(x) = \sin(x-\pi)$ является бесконечно малой при $x \to \pi$, так как $\lim_{x \to \pi} \sin(x-\pi) = \sin(0) = 0$.

Основные свойства бесконечно малых функций (б.м.ф.):
1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. при $x \to a$ есть б.м.ф. при $x \to a$.
2. Произведение конечного числа б.м.ф. при $x \to a$ есть б.м.ф. при $x \to a$.
3. Произведение б.м.ф. $\alpha(x)$ при $x \to a$ на ограниченную в некоторой окрестности точки $a$ функцию $f(x)$ есть б.м.ф. при $x \to a$.

Ответ: Бесконечно малая функция — это функция, предел которой равен нулю в рассматриваемой точке.

Бесконечно большие функции

Функция $f(x)$ называется бесконечно большой при $x \to a$, если ее предел в этой точке равен бесконечности. Математически это записывается так:

$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$

Это означает, что для любого сколь угодно большого положительного числа $M > 0$ найдется такая окрестность точки $a$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $a$) выполняется неравенство $|f(x)| > M$.

Примеры:
1. Функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является бесконечно большой при $x \to 0$, так как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$.
2. Функция $f(x) = x^3 + 1$ является бесконечно большой при $x \to +\infty$, так как $\lim_{x \to +\infty} (x^3 + 1) = +\infty$.
3. Функция $f(x) = \ln(x)$ является бесконечно большой при $x \to +\infty$, но также и при $x \to 0^+$ (в этом случае $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$).

Основные свойства бесконечно больших функций (б.б.ф.):
1. Произведение двух б.б.ф. при $x \to a$ есть б.б.ф. при $x \to a$.
2. Сумма двух б.б.ф. одного знака при $x \to a$ есть б.б.ф. того же знака при $x \to a$.
3. Произведение б.б.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть б.б.ф.

Ответ: Бесконечно большая функция — это функция, которая по модулю неограниченно возрастает при приближении аргумента к рассматриваемой точке.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Между этими двумя классами функций существует простая и важная связь, которая формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема. Если функция $\alpha(x)$ является бесконечно малой при $x \to a$ и в некоторой проколотой окрестности точки $a$ не обращается в нуль, то функция $f(x) = \frac{1}{\alpha(x)}$ является бесконечно большой при $x \to a$.

И наоборот: если функция $f(x)$ является бесконечно большой при $x \to a$, то функция $\alpha(x) = \frac{1}{f(x)}$ является бесконечно малой при $x \to a$.

Пример:
Функция $\alpha(x) = x - 2$ является б.м.ф. при $x \to 2$. Тогда функция $f(x) = \frac{1}{x-2}$ является б.б.ф. при $x \to 2$.

Ответ: Бесконечно малые и бесконечно большие функции являются "взаимно обратными": если $\alpha(x)$ - бесконечно малая, то $\frac{1}{\alpha(x)}$ - бесконечно большая, и наоборот.

Сравнение бесконечно малых функций

Бесконечно малые функции могут стремиться к нулю с разной "скоростью". Для сравнения двух б.м.ф. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ при $x \to a$ находят предел их отношения:

$L = \lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$

В зависимости от значения этого предела $L$ различают следующие случаи:

1. $\alpha(x)$ — б.м.ф. более высокого порядка, чем $\beta(x)$, если $L=0$. Это означает, что $\alpha(x)$ стремится к нулю "быстрее", чем $\beta(x)$. Обозначается: $\alpha(x) = o(\beta(x))$.
Пример: $\alpha(x) = x^3$, $\beta(x) = x$ при $x \to 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$. Значит, $x^3 = o(x)$.

2. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — б.м.ф. одного порядка, если $L$ — конечное число, не равное нулю ($L \neq 0, L \in \mathbb{R}$). Это означает, что функции стремятся к нулю с "одинаковой скоростью".
Пример: $\alpha(x) = 1 - \cos(x)$, $\beta(x) = x^2$ при $x \to 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$. Функции одного порядка.

3. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — эквивалентные б.м.ф., если $L=1$. Это частный случай б.м.ф. одного порядка. Обозначается: $\alpha(x) \sim \beta(x)$. Эквивалентные б.м.ф. широко используются при вычислении пределов, так как одну из них можно заменять на другую под знаком предела.
Пример: $\alpha(x) = \sin(x)$, $\beta(x) = x$ при $x \to 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. Значит, $\sin(x) \sim x$ при $x \to 0$.

4. $\alpha(x)$ — б.м.ф. более низкого порядка, чем $\beta(x)$, если $L = \infty$. Это означает, что $\alpha(x)$ стремится к нулю "медленнее", чем $\beta(x)$.
Пример: $\alpha(x) = \sqrt{x}$, $\beta(x) = x$ при $x \to 0^+$. $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$.

Ответ: Сравнение бесконечно малых функций производится путем нахождения предела их отношения, что позволяет определить, какая из них стремится к нулю быстрее (более высокого порядка), медленнее (более низкого порядка) или с одинаковой скоростью (одного порядка или эквивалентные).