Номер 8, страница 417 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Рекомендуемая литература:

1) Гурова З. И. и др. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами / под ред. А. И. Кибзуна — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002.

2) Мир математики : в 40 т. Т. 14 : Антонио Дуран. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых / пер. с исп. — М. : Де Агостини, 2014.

3) Мир математики : в 40 т. Т. 18 : Энрике Грасиан. Открытие границ. Бесконечность в математике / пер. с исп. — М. : Де Агостини, 2014.

4) Натансон И. П. Суммирование бесконечно малых величин. — 3-е изд., испр. — М. : Физматгиз, 1960. (Популярные лекции по математике; вып. 12).

Бесконечно малые функции

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой при $x \to a$ (где $a$ может быть числом или одной из бесконечностей $\infty, -\infty, +\infty$), если ее предел в этой точке равен нулю. Математически это записывается так:

$\lim_{x \to a} \alpha(x) = 0$

Это означает, что для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такая окрестность точки $a$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $a$) выполняется неравенство $|\alpha(x)| < \varepsilon$.

Примеры:
1. Функция $\alpha(x) = x^2$ является бесконечно малой при $x \to 0$, так как $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$.
2. Функция $\alpha(x) = \frac{1}{x-1}$ является бесконечно малой при $x \to \infty$, так как $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x-1} = 0$.
3. Функция $\alpha(x) = \sin(x-\pi)$ является бесконечно малой при $x \to \pi$, так как $\lim_{x \to \pi} \sin(x-\pi) = \sin(0) = 0$.

Основные свойства бесконечно малых функций (б.м.ф.):
1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. при $x \to a$ есть б.м.ф. при $x \to a$.
2. Произведение конечного числа б.м.ф. при $x \to a$ есть б.м.ф. при $x \to a$.
3. Произведение б.м.ф. $\alpha(x)$ при $x \to a$ на ограниченную в некоторой окрестности точки $a$ функцию $f(x)$ есть б.м.ф. при $x \to a$.

Ответ: Бесконечно малая функция — это функция, предел которой равен нулю в рассматриваемой точке.

Бесконечно большие функции

Функция $f(x)$ называется бесконечно большой при $x \to a$, если ее предел в этой точке равен бесконечности. Математически это записывается так:

$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$

Это означает, что для любого сколь угодно большого положительного числа $M > 0$ найдется такая окрестность точки $a$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $a$) выполняется неравенство $|f(x)| > M$.

Примеры:
1. Функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является бесконечно большой при $x \to 0$, так как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$.
2. Функция $f(x) = x^3 + 1$ является бесконечно большой при $x \to +\infty$, так как $\lim_{x \to +\infty} (x^3 + 1) = +\infty$.
3. Функция $f(x) = \ln(x)$ является бесконечно большой при $x \to +\infty$, но также и при $x \to 0^+$ (в этом случае $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$).

Основные свойства бесконечно больших функций (б.б.ф.):
1. Произведение двух б.б.ф. при $x \to a$ есть б.б.ф. при $x \to a$.
2. Сумма двух б.б.ф. одного знака при $x \to a$ есть б.б.ф. того же знака при $x \to a$.
3. Произведение б.б.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть б.б.ф.

Ответ: Бесконечно большая функция — это функция, которая по модулю неограниченно возрастает при приближении аргумента к рассматриваемой точке.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Между этими двумя классами функций существует простая и важная связь, которая формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема. Если функция $\alpha(x)$ является бесконечно малой при $x \to a$ и в некоторой проколотой окрестности точки $a$ не обращается в нуль, то функция $f(x) = \frac{1}{\alpha(x)}$ является бесконечно большой при $x \to a$.

И наоборот: если функция $f(x)$ является бесконечно большой при $x \to a$, то функция $\alpha(x) = \frac{1}{f(x)}$ является бесконечно малой при $x \to a$.

Пример:
Функция $\alpha(x) = x - 2$ является б.м.ф. при $x \to 2$. Тогда функция $f(x) = \frac{1}{x-2}$ является б.б.ф. при $x \to 2$.

Ответ: Бесконечно малые и бесконечно большие функции являются "взаимно обратными": если $\alpha(x)$ - бесконечно малая, то $\frac{1}{\alpha(x)}$ - бесконечно большая, и наоборот.

Сравнение бесконечно малых функций

Бесконечно малые функции могут стремиться к нулю с разной "скоростью". Для сравнения двух б.м.ф. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ при $x \to a$ находят предел их отношения:

$L = \lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$

В зависимости от значения этого предела $L$ различают следующие случаи:

1. $\alpha(x)$ — б.м.ф. более высокого порядка, чем $\beta(x)$, если $L=0$. Это означает, что $\alpha(x)$ стремится к нулю "быстрее", чем $\beta(x)$. Обозначается: $\alpha(x) = o(\beta(x))$.
Пример: $\alpha(x) = x^3$, $\beta(x) = x$ при $x \to 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$. Значит, $x^3 = o(x)$.

2. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — б.м.ф. одного порядка, если $L$ — конечное число, не равное нулю ($L \neq 0, L \in \mathbb{R}$). Это означает, что функции стремятся к нулю с "одинаковой скоростью".
Пример: $\alpha(x) = 1 - \cos(x)$, $\beta(x) = x^2$ при $x \to 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$. Функции одного порядка.

3. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — эквивалентные б.м.ф., если $L=1$. Это частный случай б.м.ф. одного порядка. Обозначается: $\alpha(x) \sim \beta(x)$. Эквивалентные б.м.ф. широко используются при вычислении пределов, так как одну из них можно заменять на другую под знаком предела.
Пример: $\alpha(x) = \sin(x)$, $\beta(x) = x$ при $x \to 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. Значит, $\sin(x) \sim x$ при $x \to 0$.

4. $\alpha(x)$ — б.м.ф. более низкого порядка, чем $\beta(x)$, если $L = \infty$. Это означает, что $\alpha(x)$ стремится к нулю "медленнее", чем $\beta(x)$.
Пример: $\alpha(x) = \sqrt{x}$, $\beta(x) = x$ при $x \to 0^+$. $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$.

Ответ: Сравнение бесконечно малых функций производится путем нахождения предела их отношения, что позволяет определить, какая из них стремится к нулю быстрее (более высокого порядка), медленнее (более низкого порядка) или с одинаковой скоростью (одного порядка или эквивалентные).