Номер 12, страница 419 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12. Целозначные многочлены.

Рекомендуемая литература:

1) Панкратьев Е. В. Элементы компьютерной алгебры : учебное пособие. — М. : Интернет-ун-т информ. технологий : БИНОМ. Лаб. знаний, 2007. (Основы информатики и математики).

2) Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. — М. : Наука, 1978.

3) Прасолов В. В. Многочлены. — 4-е изд., испр. — М. : МЦНМО, 2014. (Классические направления в математике).

На изображении указана тема "Целозначные многочлены". Это многочлены, которые, несмотря на то, что их коэффициенты могут быть нецелыми (рациональными), принимают целочисленные значения для всех целочисленных аргументов.

Определение: Многочлен $P(x)$ с рациональными коэффициентами называется целозначным, если для любого целого числа $n \in \mathbb{Z}$ значение $P(n)$ также является целым числом.

Простейшими примерами целозначных многочленов являются многочлены с целыми коэффициентами. Например, $P(x) = 2x^2 - 3x + 5$. Очевидно, что при любом целом $x$ значение этого многочлена будет целым.

Однако существуют и целозначные многочлены, у которых не все коэффициенты целые. Классический пример — многочлен $P(x) = \frac{x(x-1)}{2}$.
Распишем его в стандартном виде: $P(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$. Коэффициенты $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$ не являются целыми. Тем не менее, для любого целого $x$, одно из чисел $x$ или $x-1$ является чётным, поэтому их произведение $x(x-1)$ всегда делится на 2. Следовательно, $P(x)$ принимает целые значения для всех целых $x$.

Этот пример является частным случаем так называемых биномиальных многочленов (или многочленов-коэффициентов Ньютона):
$C_k(x) = \binom{x}{k} = \frac{x(x-1)\dots(x-k+1)}{k!}$
Для любого натурального $k$, многочлен $C_k(x)$ является целозначным.

Возникает вопрос: как описать все целозначные многочлены? Оказывается, любой целозначный многочлен может быть представлен в виде линейной комбинации биномиальных многочленов с целыми коэффициентами. Это утверждение является основной теоремой о целозначных многочленах.

Теорема (Полиа): Многочлен $P(x)$ степени $d$ с рациональными коэффициентами является целозначным тогда и только тогда, когда он может быть единственным образом представлен в виде:
$P(x) = a_d \binom{x}{d} + a_{d-1} \binom{x}{d-1} + \dots + a_1 \binom{x}{1} + a_0 \binom{x}{0}$,
где коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_d$ являются целыми числами.

Доказательство (идея):
1. Достаточность (⇐): Если многочлен $P(x)$ представлен в указанном виде с целыми $a_k$, то он является целозначным. Это следует из того, что каждый биномиальный многочлен $\binom{x}{k}$ является целозначным, а сумма целозначных многочленов с целыми коэффициентами также является целозначным многочленом.
2. Необходимость (⇒): Пусть $P(x)$ — целозначный многочлен степени $d$. Нужно показать, что коэффициенты $a_k$ в его разложении по базису из $\binom{x}{k}$ являются целыми. Эти коэффициенты можно найти с помощью оператора конечной разности $\Delta$, который определяется как $\Delta P(x) = P(x+1) - P(x)$. Если $P(x)$ — многочлен степени $d$, то $\Delta P(x)$ — многочлен степени $d-1$. Если $P(x)$ — целозначный, то $\Delta P(x)$ также целозначный.
Коэффициенты $a_k$ находятся по формулам:
$a_0 = P(0)$
$a_1 = \Delta P(0) = P(1) - P(0)$
$a_2 = \Delta^2 P(0) = \Delta(P(1)-P(0)) = (P(2)-P(1)) - (P(1)-P(0)) = P(2) - 2P(1) + P(0)$
...
$a_k = \Delta^k P(0)$
Поскольку $P(x)$ принимает целые значения во всех целых точках ($P(0), P(1), P(2), \dots$), то все его конечные разности $\Delta^k P(0)$ также будут целыми числами. Таким образом, все коэффициенты $a_k$ являются целыми.

Этот результат показывает, что множество целозначных многочленов образует кольцо, а многочлены $\binom{x}{k}$ для $k=0, 1, 2, \dots$ образуют базис этого кольца как свободного $\mathbb{Z}$-модуля.

Ответ: Целозначный многочлен — это многочлен с рациональными коэффициентами, который принимает целые значения при всех целых значениях аргумента. Основная теорема утверждает, что любой такой многочлен степени $d$ может быть единственным образом представлен как линейная комбинация биномиальных многочленов $\binom{x}{0}, \binom{x}{1}, \dots, \binom{x}{d}$ с целыми коэффициентами.