Номер 17, страница 420 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17. Приводимые и неприводимые многочлены.

Рекомендуемая литература:

1) Олейников В. Иррациональность и неприводимость // Квант. 1986. № 10. С. 6–10.

2) Прасолов В. В. Многочлены. — 4-е изд., испр. — М. : МЦНМО, 2014. (Классические направления в математике).

3) Энциклопедия элементарной математики. Т. 2 : Алгебра. / Акад. пед. наук РСФСР; под ред. П. С. Александрова [и др.]. — М. ; Л. : Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1951.

Поскольку на изображении представлен заголовок темы и список литературы, а не конкретная задача, ниже приведено развернутое объяснение понятий приводимых и неприводимых многочленов.

Определения

Понятие приводимости многочлена тесно связано с кольцом или полем, которому принадлежат его коэффициенты. Многочлен может быть приводим над одним полем и неприводим над другим.

Приводимый многочлен: Непостоянный многочлен $P(x)$ с коэффициентами из некоторого поля $K$ (или целостного кольца, например, $\mathbb{Z}$) называется приводимым над $K$, если его можно представить в виде произведения двух многочленов $Q(x)$ и $R(x)$ с коэффициентами из $K$, степени которых больше или равны 1:
$P(x) = Q(x)R(x)$, где $\deg(Q) \ge 1$ и $\deg(R) \ge 1$.
Пример: Многочлен $P(x) = x^2 - 4$ приводим над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ (и над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$), так как $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Неприводимый многочлен: Непостоянный многочлен $P(x)$ с коэффициентами из поля $K$ называется неприводимым (или простым) над $K$, если он не является приводимым. То есть его нельзя разложить в произведение двух многочленов меньшей степени (но не нулевой) с коэффициентами из того же поля $K$.
Пример: Многочлен $P(x) = x^2 - 2$ неприводим над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$, так как его корни $\pm\sqrt{2}$ не являются рациональными числами. Однако он приводим над полем действительных чисел $\mathbb{R}$, поскольку $x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$. Аналогично, многочлен $x^2 + 1$ неприводим над $\mathbb{R}$, но приводим над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$: $x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$.

Ответ: Многочлен называется приводимым над полем $K$, если его можно разложить на два множителя-многочлена меньшей, но ненулевой степени с коэффициентами из $K$. В противном случае он называется неприводимым.

Критерии неприводимости многочленов с целыми коэффициентами

Для многочленов с целыми или рациональными коэффициентами существует несколько мощных критериев для проверки их на неприводимость.

Лемма Гаусса: Если многочлен с целыми коэффициентами $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ приводим над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$, то он приводим и над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$. Это позволяет сводить задачу о приводимости над $\mathbb{Q}$ к приводимости над $\mathbb{Z}$.

Теорема о рациональных корнях: Этот критерий помогает найти линейные множители вида $(qx-p)$. Если многочлен $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $x_0 = p/q$ (где $p, q$ — взаимно простые целые числа), то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$. Для многочленов 2-й и 3-й степени отсутствие рациональных корней равносильно неприводимости над $\mathbb{Q}$.
Пример: $P(x) = x^3 + x + 1$. Возможные рациональные корни — это $\pm 1$. Проверяем: $P(1) = 3 \ne 0$, $P(-1) = -1 \ne 0$. Рациональных корней нет, следовательно, многочлен неприводим над $\mathbb{Q}$.

Критерий Эйзенштейна: Пусть $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ — многочлен с целыми коэффициентами. Если существует такое простое число $p$, что:
1. $p$ делит все коэффициенты, кроме старшего: $p | a_0, p | a_1, \dots, p | a_{n-1}$;
2. $p$ не делит старший коэффициент: $p \nmid a_n$;
3. $p^2$ не делит свободный член: $p^2 \nmid a_0$.
Тогда многочлен $P(x)$ неприводим над $\mathbb{Q}$.
Пример: $P(x) = 3x^4 - 15x^2 + 10$. Возьмем простое число $p=5$.
1. $5 | 10$ и $5 | (-15)$.
2. $5 \nmid 3$.
3. $5^2 = 25 \nmid 10$.
Все условия выполнены, значит, многочлен неприводим над $\mathbb{Q}$.

Редукционный критерий: Если многочлен $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ со старшим коэффициентом, не делящимся на простое число $p$, неприводим по модулю $p$ (т.е. его образ в кольце $\mathbb{Z}_p[x]$ неприводим), то $P(x)$ неприводим и над $\mathbb{Q}$.
Пример: $P(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$. По модулю 2 получаем $\bar{P}(x) = x^4+x^3+x^2+x+1 \in \mathbb{Z}_2[x]$. У него нет корней в $\mathbb{Z}_2$ ($\bar{P}(0)=1, \bar{P}(1)=1$), значит, нет линейных множителей. Проверка показывает, что он также не делится на единственный неприводимый многочлен второй степени $x^2+x+1$. Следовательно, $\bar{P}(x)$ неприводим в $\mathbb{Z}_2[x]$. Значит, $P(x)$ неприводим над $\mathbb{Q}$.

Ответ: Основные методы проверки неприводимости многочлена с целыми коэффициентами над $\mathbb{Q}$ — это поиск рациональных корней (для степеней 2 и 3), критерий Эйзенштейна и редукция по простому модулю.

Примеры анализа многочленов на приводимость

1. Многочлен $x^4 + 4$
Этот многочлен не имеет действительных корней, так как $x^4 \ge 0$, следовательно, $x^4+4 > 0$. Отсутствие действительных корней означает отсутствие линейных множителей с действительными коэффициентами. Однако это не гарантирует неприводимости. Многочлен может разлагаться на два квадратных трехчлена. Для разложения можно использовать метод неопределенных коэффициентов или искусственный прием (метод Софи Жермен):
$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$
Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:
$(x^2+2 - 2x)(x^2+2 + 2x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.
Так как мы получили разложение на два многочлена с целыми коэффициентами, многочлен $x^4+4$ является приводимым над $\mathbb{Z}$ (и, следовательно, над $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$).

2. Круговой многочлен $\Phi_p(x)$ для простого $p$
Круговым (или циклотомическим) многочленом $\Phi_n(x)$ называется многочлен, корнями которого являются первообразные корни $n$-й степени из единицы. Для простого числа $p$ он имеет вид:
$\Phi_p(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 1$.
Чтобы доказать его неприводимость над $\mathbb{Q}$, применим критерий Эйзенштейна к многочлену $\Phi_p(x+1)$.
$\Phi_p(x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} = \frac{1}{x} \left( \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}x^k - 1 \right) = \frac{1}{x} (x^p + \binom{p}{1}x^{p-1} + \dots + \binom{p}{p-1}x)$.
$\Phi_p(x+1) = x^{p-1} + \binom{p}{1}x^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-2}x + \binom{p}{p-1}$.
Коэффициенты этого многочлена (кроме старшего, равного 1) — это биномиальные коэффициенты $\binom{p}{k}$ для $k=1, \dots, p-1$. Все они делятся на простое $p$. Старший коэффициент равен 1 и на $p$ не делится. Свободный член равен $\binom{p}{p-1} = p$ и не делится на $p^2$.
Таким образом, для многочлена $\Phi_p(x+1)$ и простого числа $p$ выполнены все условия критерия Эйзенштейна. Следовательно, $\Phi_p(x+1)$ неприводим над $\mathbb{Q}$. А если $\Phi_p(x+1)$ неприводим, то и исходный многочлен $\Phi_p(x)$ тоже неприводим над $\mathbb{Q}$.

Ответ: Анализ приводимости может требовать нестандартных подходов, таких как искусственные преобразования ($x^4+4$) или сдвиг аргумента (круговые многочлены), чтобы применить стандартные критерии.