Номер 18, страница 420 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18. О сходимости рядов.

Рекомендуемая литература:

1) Давидович Б. М. и др. Математический анализ в математических классах пятьдесят седьмой школы. — М. : МЦНМО : ЧеРо 1998.

2) Кустов Ю. А., Юмагулов М. Г. Математика. Основы математического анализа: теория, примеры, задачи. — М. : Рольф : Айрис-пресс, 1998.

3) Маркушевич А. И. Ряды. Элементарный очерк. — М.; Л. : Объединённое научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936.

4) Мордкович А. Г., Солодовников А. С. Математический анализ : учебник для техникумов. — М. : Высш. шк., 1990.

Изображение содержит заголовок темы "О сходимости рядов" и список рекомендуемой литературы. Поскольку конкретной задачи или вопроса нет, ниже представлено развернутое изложение основных концепций и методов исследования сходимости числовых рядов.

Определение ряда и его сходимости

Числовым рядом называется выражение вида:
$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots $
где последовательность чисел $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ называется членами ряда, а $a_n$ — общим членом ряда.

Сумма первых $n$ членов ряда называется $n$-й частичной суммой ряда и обозначается $S_n$:
$ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n $

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм:
$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $
Этот предел $S$ называется суммой ряда. Если предел не существует или равен бесконечности, ряд называется расходящимся.

Пример: Ряд геометрической прогрессии $ \sum_{n=0}^{\infty} q^n $ сходится при $|q| < 1$ к сумме $S = \frac{1}{1-q}$ и расходится при $|q| \ge 1$.

Ответ: Ряд сходится, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел. В противном случае ряд расходится.

Необходимое условие сходимости

Для того чтобы ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю при $n \to \infty$:
$ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $
Если этот предел не равен нулю или не существует, то ряд заведомо расходится (этот факт называется признаком расходимости).

Важно отметить, что это условие является необходимым, но не достаточным. То есть, если $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $, это еще не гарантирует сходимость ряда. Классическим примером является гармонический ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $. Для него $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $, но сам ряд расходится.

Ответ: Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Обратное утверждение неверно.

Признаки сходимости для знакоположительных рядов

Для рядов, все члены которых неотрицательны ($a_n \ge 0$), существует несколько мощных признаков, позволяющих определить их сходимость.

Признаки сравнения

1. Первый признак сравнения: Пусть даны два ряда $ \sum a_n $ и $ \sum b_n $ с неотрицательными членами, и для всех $n$ (начиная с некоторого номера) выполняется неравенство $a_n \le b_n$. Тогда:
- если "больший" ряд $ \sum b_n $ сходится, то сходится и "меньший" ряд $ \sum a_n $;
- если "меньший" ряд $ \sum a_n $ расходится, то расходится и "больший" ряд $ \sum b_n $.

2. Второй признак сравнения (в предельной форме): Пусть даны два ряда $ \sum a_n $ и $ \sum b_n $ с положительными членами. Если существует конечный и отличный от нуля предел их отношения:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L $, где $0 < L < \infty$
то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Ответ: Признаки сравнения позволяют определить сходимость ряда, сопоставляя его с другим рядом, сходимость которого уже известна (например, с геометрической прогрессией или обобщенным гармоническим рядом).

Признак Даламбера

Пусть для ряда $ \sum a_n $ с положительными членами существует предел:
$ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $
Тогда:
- если $L < 1$, то ряд сходится;
- если $L > 1$ (или предел равен $+\infty$), то ряд расходится;
- если $L = 1$, то признак не дает ответа о сходимости ряда.

Пример: Для ряда $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} $, имеем $L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2/2^{n+1}}{n^2/2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{2^n}{2^{n+1}} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1$. Следовательно, ряд сходится.

Ответ: Признак Даламбера удобен для рядов, общий член которых содержит факториалы или показательные функции.

Радикальный признак Коши

Пусть для ряда $ \sum a_n $ с неотрицательными членами существует предел:
$ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $
Тогда:
- если $L < 1$, то ряд сходится;
- если $L > 1$ (или предел равен $+\infty$), то ряд расходится;
- если $L = 1$, то признак не дает ответа.

Пример: Для ряда $ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2n}{3n+1})^n $, имеем $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{2n}{3n+1})^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{3n+1} = \frac{2}{3} < 1$. Следовательно, ряд сходится.

Ответ: Радикальный признак Коши особенно эффективен, когда общий член ряда представляет собой $n$-ю степень некоторого выражения.

Интегральный признак Коши

Пусть функция $f(x)$ на промежутке $[1, \infty)$ является непрерывной, положительной и невозрастающей. Тогда ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $, где $a_n = f(n)$, сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом $ \int_{1}^{\infty} f(x) dx $.

Этот признак позволяет, в частности, исследовать сходимость обобщенных гармонических рядов (p-рядов) вида $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $. Соответствующий интеграл $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx $ сходится при $p > 1$ и расходится при $p \le 1$. Следовательно, и p-ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \le 1$.

Ответ: Интегральный признак Коши связывает сходимость ряда со сходимостью несобственного интеграла от соответствующей функции.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакочередующимся называется ряд вида $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n $ или $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $, где $a_n > 0$.

Признак Лейбница: Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются два условия:
1. Последовательность абсолютных величин его членов монотонно убывает (начиная с некоторого номера): $a_{n+1} \le a_n$.
2. Предел общего члена равен нулю: $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $.

Пример: Знакочередующийся гармонический ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots $ сходится, так как $a_n = \frac{1}{n}$ монотонно убывает ($ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} $) и $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $.

Ответ: Для сходимости знакочередующегося ряда достаточно, чтобы абсолютные величины его членов монотонно стремились к нулю.

Абсолютная и условная сходимость

Для рядов с членами произвольного знака вводится понятие абсолютной сходимости. Ряд $ \sum a_n $ называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть ряд $ \sum |a_n| $.

Ряд $ \sum a_n $ называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд из абсолютных величин его членов $ \sum |a_n| $ расходится.

Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Пример: Ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} $ сходится абсолютно, так как ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} |\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ сходится (p-ряд, $p=2>1$). В то же время, знакочередующийся гармонический ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} $ сходится условно, так как сам он сходится (по признаку Лейбница), а ряд из модулей (гармонический ряд $ \sum \frac{1}{n} $) расходится.

Ответ: Абсолютная сходимость является более сильным свойством, чем просто сходимость. Ряд может сходиться, но не сходиться абсолютно — в этом случае сходимость называется условной.