Номер 1.2, страница 422 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.2. Каким образом характеристики функции помогают построить её график на экране компьютера?

1.2. Построение графика функции на экране компьютера — это процесс преобразования непрерывной математической концепции в дискретное изображение, состоящее из пикселей. Характеристики функции играют ключевую роль в этом процессе, делая его точным и эффективным. Компьютер не "видит" кривую целиком; он строит ее по точкам. Вот как характеристики помогают в этом:

Основной алгоритм построения графика компьютером включает следующие шаги:

1. Дискретизация области определения. Компьютер выбирает некоторый интервал $[x_{min}, x_{max}]$ и разбивает его на множество точек $x_1, x_2, ..., x_n$ с определенным шагом $h$.
2. Вычисление значений функции. Для каждой точки $x_i$ вычисляется соответствующее значение $y_i = f(x_i)$. В результате получается набор координатных пар $(x_i, y_i)$.
3. Соединение точек. Компьютер соединяет последовательные точки $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ отрезками прямых. Если точек достаточно много (шаг $h$ маленький), то получившаяся ломаная линия будет визуально неотличима от гладкой кривой.

Однако этот простой алгоритм может давать серьезные ошибки. Именно здесь на помощь приходят аналитические характеристики функции, которые позволяют программе построения графиков (графопостроителю) действовать "умнее":

• Область определения ($D(f)$). Это первое и самое важное свойство. Программа не будет даже пытаться вычислять значения функции там, где она не определена (например, $\sqrt{x}$ для $x < 0$ или $\log(x)$ для $x \le 0$). Это предотвращает ошибки и определяет, на каких интервалах оси $Ox$ вообще будет существовать график.
• Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Если у функции есть точка разрыва (например, у функции $y = 1/x$ в точке $x=0$), простой алгоритм может неверно соединить две ветви графика, проведя почти вертикальную линию через асимптоту. "Умная" программа анализирует функцию на наличие знаменателей, обращающихся в ноль. Обнаружив точку разрыва, она прерывает линию и начинает строить новую ветвь графика с другой стороны от асимптоты, что обеспечивает корректное изображение.
• Экстремумы (максимумы и минимумы). В точках экстремумов функция меняет свое поведение (с возрастания на убывание или наоборот). Если шаг дискретизации $h$ слишком большой, можно "пропустить" вершину параболы или любой другой локальный максимум/минимум. Продвинутые программы могут анализировать производную функции ($f'(x)$). В точках, где $f'(x) = 0$, находятся критические точки. Программа может принудительно добавить эти точки в список для вычисления, чтобы гарантированно отобразить все пики и впадины на графике. Это называется адаптивным шагом: в областях, где функция быстро меняется, шаг уменьшается.
• Периодичность. Если программа определит, что функция периодическая (например, $y = \sin(x)$), ей достаточно точно построить график на одном периоде, а затем просто скопировать этот фрагмент на всю заданную область построения. Это значительно экономит вычислительные ресурсы.
• Четность/нечетность. Знание о четности ($f(-x)=f(x)$) или нечетности ($f(-x)=-f(x)$) также позволяет оптимизировать вычисления. Например, для четной функции достаточно вычислить значения для $x > 0$, а затем симметрично отразить график относительно оси $Oy$.

Таким образом, характеристики функции позволяют компьютерной программе не просто слепо вычислять точки, а анализировать поведение функции, чтобы выбрать правильные интервалы для построения, корректно обработать разрывы и асимптоты, точно отобразить ключевые точки (экстремумы) и оптимизировать вычисления.

Ответ: Характеристики функции (область определения, точки разрыва, асимптоты, экстремумы, периодичность, четность) позволяют компьютерной программе адаптировать алгоритм построения графика: выбирать правильные интервалы, избегать соединения точек через разрывы, уточнять положение ключевых точек (вершин и впадин) и оптимизировать вычисления, что в итоге приводит к созданию точного и адекватного визуального представления функции.