Номер 14, страница 419 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14. Числовые функции теории чисел.

Рекомендуемая литература:

1) Бухштаб А. А. Теория чисел : учебное пособие. — 4-е изд., стер. — СПБ. [и др.] : Лань, 2015. (Классическая учебная литература по математике).

2) Виноградов И. М. Основы теории чисел. — 10-е изд., стер. — СПБ. [и др.] : Лань, 2004.

3) Деза Е. И., Котова Л. В. Сборник задач по теории чисел : 112 задач с подробными решениями. — М. : URSS, 2011.

На изображении представлен заголовок темы «Числовые функции теории чисел» и список рекомендуемой литературы. Поскольку конкретного вопроса или задачи нет, ниже приводится развернутое объяснение этой темы.

Числовая функция (или арифметическая функция) в теории чисел — это функция $f(n)$, определённая на множестве натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ и принимающая значения в множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$ (или, чаще, в множестве действительных $\mathbb{R}$ или целых $\mathbb{Z}$ чисел). Эти функции играют фундаментальную роль в изучении свойств целых чисел, таких как делимость, распределение простых чисел и решение диофантовых уравнений. Книги, указанные в списке, являются классическими учебными пособиями, подробно освещающими эту тему.

Ответ: Числовая (арифметическая) функция — это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел.

Существует множество важных числовых функций, каждая из которых описывает определённое свойство натуральных чисел. Рассмотрим некоторые из них.

• Число делителей $\tau(n)$ (также обозначается $d(n)$). Эта функция для каждого натурального числа $n$ находит количество его натуральных делителей. Формально, $\tau(n) = \sum_{d|n} 1$. Если каноническое разложение числа $n$ на простые множители имеет вид $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$, то число его делителей вычисляется по формуле:
  $\tau(n) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$.
  Пример: для $n=12=2^2 \cdot 3^1$, $\tau(12) = (2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6$. Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Сумма делителей $\sigma(n)$. Эта функция находит сумму всех натуральных делителей числа $n$. Формально, $\sigma(n) = \sum_{d|n} d$. Для числа $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ формула для суммы делителей выглядит так:
  $\sigma(n) = \frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \cdot \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \cdots \frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$.
  Пример: для $n=12=2^2 \cdot 3^1$, $\sigma(12) = \frac{2^{2+1}-1}{2-1} \cdot \frac{3^{1+1}-1}{3-1} = \frac{7}{1} \cdot \frac{8}{2} = 28$. Сумма делителей: $1+2+3+4+6+12=28$.
• Функция Эйлера $\varphi(n)$. Функция Эйлера (или тотиент-функция) показывает количество натуральных чисел, не превосходящих $n$ и взаимно простых с $n$. Для $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ формула имеет вид:
  $\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right)$.
  Пример: для $n=12=2^2 \cdot 3^1$, $\varphi(12) = 12(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3}) = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 4$. Взаимно простые с 12 числа: 1, 5, 7, 11.
• Функция Мёбиуса $\mu(n)$. Это функция, используемая во многих аспектах теории чисел, в частности, в формуле обращения Мёбиуса. Она определяется следующим образом:
  $\mu(n) = \begin{cases} 1, & \text{если } n=1 \\ (-1)^k, & \text{если } n \text{ — произведение } k \text{ различных простых чисел} \\ 0, & \text{если } n \text{ делится на квадрат простого числа} \end{cases}$
  Пример: $\mu(6) = \mu(2 \cdot 3) = (-1)^2=1$; $\mu(10) = \mu(2 \cdot 5)=1$; $\mu(30)=\mu(2 \cdot 3 \cdot 5) = (-1)^3=-1$; $\mu(12) = \mu(2^2 \cdot 3)=0$.
  Важное свойство: $\sum_{d|n} \mu(d) = 1$ для $n=1$ и $0$ для $n>1$.

Ответ: Ключевыми числовыми функциями являются число делителей $\tau(n)$, сумма делителей $\sigma(n)$, функция Эйлера $\varphi(n)$ и функция Мёбиуса $\mu(n)$, каждая из которых вычисляется на основе канонического разложения числа на простые множители.

Многие числовые функции обладают важным свойством мультипликативности или аддитивности. Это свойство значительно упрощает их вычисление.

• Мультипликативная функция. Функция $f(n)$ называется мультипликативной, если $f(1)=1$ и для любых двух взаимно простых чисел $m$ и $n$ (т.е. $\text{НОД}(m,n)=1$) выполняется равенство $f(mn) = f(m)f(n)$.
  Все рассмотренные выше функции — $\tau(n)$, $\sigma(n)$, $\varphi(n)$ и $\mu(n)$ — являются мультипликативными.
  Если равенство $f(mn) = f(m)f(n)$ выполняется для любых натуральных $m$ и $n$, то функция называется вполне (или строго) мультипликативной. Пример: $f(n)=n^k$ для некоторого $k$.
• Аддитивная функция. Функция $g(n)$ называется аддитивной, если для любых двух взаимно простых чисел $m$ и $n$ выполняется равенство $g(mn) = g(m)+g(n)$.
  Пример: функция $\omega(n)$ — число различных простых делителей числа $n$. Для $n=12=3 \cdot 4$, $\omega(12)=2$, и $\omega(3)+\omega(4)=1+1=2$.
  Если равенство $g(mn) = g(m)+g(n)$ выполняется для любых натуральных $m$ и $n$, то функция называется вполне (или строго) аддитивной. Пример: функция $\Omega(n)$ — число простых делителей числа $n$ с учётом их кратности. Для $n=12=2^2 \cdot 3^1$, $\Omega(12)=2+1=3$.

Свойство мультипликативности позволяет вычислять значение функции для любого числа, зная лишь её значения для степеней простых чисел. Если $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$, то для мультипликативной функции $f$ справедливо $f(n) = f(p_1^{a_1}) \cdots f(p_k^{a_k})$.

Ответ: Мультипликативные функции удовлетворяют свойству $f(mn) = f(m)f(n)$ для взаимно простых $m$ и $n$, что позволяет легко вычислять их значения через разложение аргумента на простые множители. Аналогично, аддитивные функции удовлетворяют свойству $g(mn) = g(m)+g(n)$.