Номер 15, страница 419 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15. Теорема Ферма о сумме двух квадратов.

Рекомендуемая литература:

1) Бухштаб А. А. Теория чисел : учебное пособие. — 4-е изд., стер. — СПб. [и др.] : Лань, 2015. (Классическая учебная литература по математике).

2) Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. 1999. № 3. С. 14—22.

3) Спивак А. Суммы квадратов // Популярные лекции по математике ММ МГУ, 2013/14 у. г., лекция № 19 (334).

4) Тихомиров В. Теорема Ферма — Эйлера о двух квадратах // Квант. 1991. № 10. С. 9—12.

5) Тихомиров В. М. Великие математики прошлого и их великие теоремы. — 2-е изд., испр. — М. : МЦНМО, 2003. (Библиотека «Математическое просвещение»; вып. 1).

На изображении представлена тема «Теорема Ферма о сумме двух квадратов» и список рекомендуемой литературы. Развернутый ответ на этот неявный вопрос состоит в формулировке и доказательстве данной теоремы.

Формулировка теоремы

Теорема, сформулированная Пьером де Ферма в 1640 году и доказанная Леонардом Эйлером в 1749 году, устанавливает критерий, по которому натуральное число может быть представлено в виде суммы двух квадратов целых чисел.

Основная формулировка (для простых чисел):

Нечётное простое число $p$ может быть представлено в виде суммы двух квадратов, $p = a^2 + b^2$, где $a, b$ — целые числа, тогда и только тогда, когда $p$ имеет вид $4k+1$, то есть $p \equiv 1 \pmod{4}$.

Простое число 2 также представимо в виде суммы двух квадратов: $2 = 1^2 + 1^2$. Простые числа вида $4k+3$ не могут быть представлены в виде суммы двух квадратов.

Обобщение (для составных чисел):

Натуральное число $n > 1$ представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда в его каноническом разложении на простые множители все простые сомножители вида $4k+3$ входят в чётной степени.

Доказательство необходимости

Докажем, что если нечётное простое число $p$ можно представить в виде суммы двух квадратов, $p = a^2 + b^2$, то оно должно иметь вид $4k+1$.

Рассмотрим квадраты целых чисел по модулю 4:

• Если число $x$ чётно, то $x = 2m$, и $x^2 = (2m)^2 = 4m^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если число $x$ нечётно, то $x = 2m+1$, и $x^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Таким образом, любой квадрат целого числа при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1.

Теперь рассмотрим сумму двух квадратов $a^2 + b^2$ по модулю 4:

• Если $a$ и $b$ оба чётные, то $a^2 + b^2 \equiv 0 + 0 = 0 \pmod{4}$.
• Если одно чётное, а другое нечётное, то $a^2 + b^2 \equiv 0 + 1 = 1 \pmod{4}$.
• Если $a$ и $b$ оба нечётные, то $a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{4}$.

Следовательно, сумма двух квадратов может быть сравнима с 0, 1 или 2 по модулю 4, но никогда не может быть сравнима с 3.

Поскольку $p$ — нечётное простое число, оно не может быть сравнимо с 0 или 2 по модулю 4 (т.е. быть чётным). Значит, если $p = a^2+b^2$, то $p$ может быть сравнимо только с 1 по модулю 4. Это доказывает, что простые числа вида $4k+3$ непредставимы в виде суммы двух квадратов.

Доказательство достаточности

Теперь докажем, что если простое число $p$ имеет вид $p=4k+1$, то его можно представить в виде суммы двух квадратов. Доказательство состоит из нескольких шагов.

Шаг 1: Существование числа $a$, такого что $a^2 \equiv -1 \pmod{p}$.

Согласно теореме Вильсона, для любого простого $p$ выполняется сравнение $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$.

Поскольку $p = 4k+1$, мы можем записать $(p-1)!$ как:

$(4k)! = (1 \cdot 2 \cdots 2k) \cdot ((2k+1) \cdots 4k)$.

Заметим, что $p-j \equiv -j \pmod{p}$. Тогда:

$4k \equiv -1 \pmod{p}$

$4k-1 \equiv -2 \pmod{p}$

...

$2k+1 \equiv -(2k) \pmod{p}$

Переписываем вторую часть произведения:

$(2k+1) \cdots (4k) \equiv (-(2k)) \cdots (-1) \pmod{p}$.

Это произведение содержит $2k$ членов, поэтому $(-1)$ выносится в степени $2k$, которая является чётной. Следовательно,

$(2k+1) \cdots (4k) \equiv (2k)! \pmod{p}$.

Подставляя это в исходное выражение для $(p-1)!$, получаем:

$(p-1)! = (4k)! \equiv (2k)! \cdot (2k)! = ((2k)!)^2 \pmod{p}$.

Так как по теореме Вильсона $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$, мы получаем, что $((2k)!)^2 \equiv -1 \pmod{p}$.

Таким образом, мы нашли целое число $a = (2k)!$, квадрат которого даёт остаток -1 при делении на $p$. То есть, $a^2+1$ делится на $p$.

Шаг 2: Применение принципа Дирихле (голубей и клеток).

Мы знаем, что существует целое $a$, для которого $a^2+1 = mp$ для некоторого целого $m$. Нам нужно найти такие целые $x$ и $y$, что $x^2+y^2=p$.

Рассмотрим множество чисел вида $u+av$, где $u, v$ — целые числа в диапазоне $0 \le u, v \le \lfloor\sqrt{p}\rfloor$.

Количество пар $(u,v)$ равно $(\lfloor\sqrt{p}\rfloor+1)^2$. Так как $\sqrt{p}$ не является целым (потому что $p$ простое), то $\lfloor\sqrt{p}\rfloor < \sqrt{p}$, и значит $(\lfloor\sqrt{p}\rfloor+1) > \sqrt{p}$. Следовательно, количество пар больше, чем $(\sqrt{p})^2=p$.

По принципу Дирихле, раз у нас больше $p$ чисел ($u+av$), а возможных остатков по модулю $p$ всего $p$, то найдутся две различные пары $(u_1, v_1)$ и $(u_2, v_2)$, для которых:

$u_1 + av_1 \equiv u_2 + av_2 \pmod{p}$.

Перегруппируем члены: $u_1 - u_2 \equiv a(v_2 - v_1) \pmod{p}$.

Обозначим $x = u_1 - u_2$ и $y = v_2 - v_1$. Тогда $x \equiv -ay \pmod{p}$.

Поскольку пары $(u_1, v_1)$ и $(u_2, v_2)$ различны, хотя бы одно из чисел $x, y$ не равно нулю. Также, $|x| = |u_1 - u_2| \le \lfloor\sqrt{p}\rfloor$ и $|y| = |v_1 - v_2| \le \lfloor\sqrt{p}\rfloor$.

Возведём сравнение $x \equiv -ay \pmod{p}$ в квадрат: $x^2 \equiv a^2 y^2 \pmod{p}$.

Так как мы знаем, что $a^2 \equiv -1 \pmod{p}$, получаем $x^2 \equiv -y^2 \pmod{p}$, что эквивалентно $x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod{p}$.

Это означает, что $x^2+y^2 = kp$ для некоторого целого $k$.

Шаг 3: Нахождение значения $k$.

Оценим $k$. Поскольку $x$ и $y$ не оба равны нулю, $x^2+y^2 > 0$, значит $k \ge 1$.

С другой стороны, $|x| \le \lfloor\sqrt{p}\rfloor < \sqrt{p}$ и $|y| \le \lfloor\sqrt{p}\rfloor < \sqrt{p}$.

Следовательно, $x^2+y^2 < (\sqrt{p})^2 + (\sqrt{p})^2 = 2p$.

Итак, $0 < kp < 2p$, что означает $k$ может быть только 1.

Таким образом, мы нашли целые числа $x$ и $y$, для которых $x^2+y^2 = p$. Достаточность доказана.

Примеры

• $p=5$. $5 \equiv 1 \pmod{4}$. Представимо: $5 = 1^2 + 2^2$.
• $p=13$. $13 \equiv 1 \pmod{4}$. Представимо: $13 = 2^2 + 3^2$.
• $p=29$. $29 \equiv 1 \pmod{4}$. Представимо: $29 = 2^2 + 5^2$.
• $p=7$. $7 \equiv 3 \pmod{4}$. Непредставимо в виде суммы двух квадратов.
• $n=90$. Разложение на простые: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Простой множитель $3$ имеет вид $4k+3$, и он входит в чётной степени (2). Другие простые множители (2 и 5) удовлетворяют условию. Значит, 90 представимо: $90 = 3^2 + 9^2$.
• $n=21$. Разложение на простые: $21 = 3 \cdot 7$. Оба простых множителя ($3$ и $7$) имеют вид $4k+3$ и входят в нечётной степени (1). Следовательно, 21 непредставимо в виде суммы двух квадратов.

Ответ:

Теорема Ферма о сумме двух квадратов утверждает, что натуральное число $n$ может быть представлено в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложении на простые множители все простые числа вида $4k+3$ содержатся в чётных степенях. В частном случае, для нечётного простого числа $p$, это означает, что оно представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда $p \equiv 1 \pmod{4}$.