Номер 13, страница 419 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13. Цепные дроби и диофантовы уравнения.

Рекомендуемая литература:

1) Арнольд В. И. Цепные дроби. — 2-е изд., стер. — М. : МЦНМО, 2009. (Библиотека «Математическое просвещение»; вып. 14).

2) Бухштаб А. А. Теория чисел : учебное пособие. — 4-е изд., стер. — СПб. [и др.] : Лань, 2015. (Классическая учебная литература по математике).

3) Нестеренко Ю. В., Никишин Е. М. Очерк о цепных дробях // Квант. 1983. № 5. — С. 16–20; № 6. — С. 26–30.

4) Хинчин А. Я. Цепные дроби. — 4-е изд., стер. — М. : Едиториал УРСС, 2004.

На изображении представлен заголовок темы «Цепные дроби и диофантовы уравнения» и список рекомендуемой литературы. Поскольку конкретной задачи или вопроса нет, ниже приведено развернутое объяснение этой темы, раскрывающее суть цепных дробей, диофантовых уравнений и связи между ними.

Что такое цепные дроби?

Цепная (или непрерывная) дробь — это способ представления действительного числа в виде выражения с последовательностью вложенных дробей. Общий вид цепной дроби:

где $a_0$ — целое число, а все последующие $a_i$ (при $i \ge 1$) — натуральные числа. Эти числа $a_i$ называются неполными частными или элементами цепной дроби. Для краткости используется запись $[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]$.

Основные свойства цепных дробей:

• Любое рациональное число (обыкновенная дробь $p/q$) представляется в виде конечной цепной дроби. Алгоритм нахождения её элементов совпадает с алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя чисел $p$ и $q$.
• Любое иррациональное число (например, $\sqrt{2}$ или $\pi$) представляется в виде бесконечной цепной дроби.
• Квадратичные иррациональности (числа вида $a + b\sqrt{D}$, где $a, b$ — рациональные, а $D$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом) представляются в виде бесконечных периодических цепных дробей.

Пример. Разложим число $\frac{97}{31}$ в цепную дробь.

1. $\frac{97}{31} = 3 + \frac{4}{31}$. Первый элемент $a_0 = 3$.
2. Переворачиваем остаток: $\frac{31}{4} = 7 + \frac{3}{4}$. Второй элемент $a_1 = 7$.
3. Переворачиваем новый остаток: $\frac{4}{3}{ = 1 + \frac{1}{3}}$. Третий элемент $a_2 = 1$.
4. Переворачиваем последний остаток: $\frac{3}{1} = 3$. Четвертый элемент $a_3 = 3$.

Таким образом, $\frac{97}{31} = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}$, или в краткой записи $[3; 7, 1, 3]$.

Фрагменты цепной дроби, называемые подходящими дробями (например, $[a_0]$, $[a_0; a_1]$, $[a_0; a_1, a_2]$ и т.д.), дают наилучшие рациональные приближения исходного числа.

Ответ: Цепная дробь — это представление числа в виде "многоэтажной" дроби. Конечные цепные дроби соответствуют рациональным числам, а бесконечные — иррациональным. Они являются ключевым инструментом в теории чисел, в частности, в теории приближения чисел.

Что такое диофантовы уравнения?

Диофантово уравнение — это алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, для которого требуется найти целочисленные решения. Названы они в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского.

Примеры диофантовых уравнений:

• Линейное диофантово уравнение: $ax + by = c$, где $a, b, c$ — заданные целые числа, а $x, y$ — неизвестные целые. Такое уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) чисел $a$ и $b$.
• Уравнение Пелля: $x^2 - Dy^2 = 1$, где $D$ — заданное натуральное число, не являющееся полным квадратом. Это уравнение всегда имеет бесконечное множество целочисленных решений.
• Уравнение Пифагора: $x^2 + y^2 = z^2$. Его целочисленные решения $(x, y, z)$ называются пифагоровыми тройками (например, (3, 4, 5)).

Общей теории решения произвольных диофантовых уравнений не существует. Как показал Юрий Матиясевич, не существует и универсального алгоритма, который бы для любого диофантова уравнения определял, есть ли у него целочисленные решения (отрицательное решение десятой проблемы Гильберта).

Ответ: Диофантово уравнение — это уравнение, для которого ищутся решения в целых числах. Их изучение является одной из центральных и самых сложных областей теории чисел.

Как связаны цепные дроби и диофантовы уравнения?

Цепные дроби предоставляют мощный и элегантный метод для решения некоторых важных классов диофантовых уравнений.

1. Решение линейных диофантовых уравнений.

Рассмотрим уравнение $ax - by = 1$, где $a$ и $b$ — взаимно простые натуральные числа. Чтобы найти его решение, нужно разложить дробь $a/b$ в конечную цепную дробь. Пусть $a/b = [a_0; a_1, \dots, a_n]$. Обозначим предпоследнюю подходящую дробь как $P_{n-1}/Q_{n-1}$. Тогда выполняется тождество:

Отсюда легко получить решение исходного уравнения. Если $n-1$ — четное, то $(x_0, y_0) = (Q_{n-1}, P_{n-1})$ является решением. Если $n-1$ — нечетное, то решением будет $(-Q_{n-1}, -P_{n-1})$.

2. Решение уравнения Пелля.

Для нахождения целочисленных решений уравнения $x^2 - Dy^2 = 1$ (где $D > 0$ и не является квадратом) необходимо разложить число $\sqrt{D}$ в бесконечную периодическую цепную дробь. Оказывается, что все решения $(x, y)$ этого уравнения являются числителями и знаменателями подходящих дробей для $\sqrt{D}$.

Пример. Найдем решение уравнения $x^2 - 3y^2 = 1$.

Разложим $\sqrt{3}$ в цепную дробь:

Получаем периодическую дробь: $\sqrt{3} = [1; 1, 2, 1, 2, \dots] = [1; \overline{1, 2}]$.

Найдем подходящие дроби:

• $\frac{P_0}{Q_0} = \frac{1}{1}$ (Проверка: $1^2 - 3 \cdot 1^2 = -2$)
• $\frac{P_1}{Q_1} = 1 + \frac{1}{1} = \frac{2}{1}$ (Проверка: $2^2 - 3 \cdot 1^2 = 1$)

Мы нашли наименьшее нетривиальное решение (его называют фундаментальным): $(x, y) = (2, 1)$. Все остальные решения можно получить из фундаментального.

Ответ: Аппарат цепных дробей является одним из основных методов решения диофантовых уравнений. Алгоритм Евклида, лежащий в основе разложения в цепную дробь, напрямую приводит к решению линейных уравнений. Разложение квадратных иррациональностей в цепную дробь позволяет находить все решения уравнения Пелля.