Номер 7, страница 417 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7. История возникновения дифференциального и интегрального исчислений.

Рекомендуемая литература:

1) Юшкевич А. П. Из истории возникновения математического анализа. — М. : Знание, 1985.

2) Рыбников К. А. История математики : в 2 ч. — М. : Моск. унив., 1960.

Возникновение дифференциального и интегрального исчислений, составивших основу математического анализа, не было единовременным актом, а представляло собой длительный эволюционный процесс, в котором можно выделить несколько ключевых этапов. Идеи, легшие в основу анализа, зародились еще в античности и постепенно развивались на протяжении многих веков, пока не были систематизированы и объединены в трудах Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница в XVII веке.

Первые идеи, связанные с интегральным исчислением, появились в Древней Греции. Для вычисления площадей и объемов сложных фигур математики использовали метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским. Вершины в применении этого метода достиг Архимед (III в. до н.э.), который с его помощью смог вычислить площадь сегмента параболы, объем шара и других тел. Метод исчерпывания состоял в последовательном приближении искомой величины с помощью вписанных и описанных фигур, площади или объемы которых известны. Это был идейный предшественник современного понятия интеграла как предела интегральных сумм.

Новый толчок развитию этих идей дал XVII век. Важнейшим шагом стал метод неделимых, разработанный Бонавентурой Кавальери. Он рассматривал плоскую фигуру как состоящую из бесконечного числа параллельных отрезков ("неделимых"), а тело — из бесконечного числа параллельных плоских сечений. Хотя метод не был строгим, он позволял получать правильные результаты для широкого класса задач на вычисление площадей и объемов.

Параллельно развивались методы, предвосхитившие дифференциальное исчисление. Рене Декарт, создав аналитическую геометрию, заложил основу для изучения кривых с помощью уравнений. Пьер де Ферма разработал метод нахождения экстремумов (максимумов и минимумов) функций, который по сути был эквивалентен нахождению нулей производной. Он же предложил способ проведения касательных к кривым, основанный на рассмотрении секущей, проходящей через две бесконечно близкие точки кривой. Значительный вклад внес и учитель Ньютона, Исаак Барроу, который в своих «Лекциях по геометрии» установил фундаментальную взаимосвязь между задачей о проведении касательных (дифференцирование) и задачей о вычислении площадей (интегрирование), сформулировав геометрический эквивалент основной теоремы анализа.

Кульминацией развития этих идей стало создание дифференциального и интегрального исчислений как единой системы в работах Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница. Они, работая независимо друг от друга, обобщили и систематизировали методы своих предшественников, создав универсальный аппарат анализа.

Исаак Ньютон (Англия) разработал свой вариант исчисления в 1665–1667 годах, назвав его методом флюксий и флюент. В его подходе переменные величины (флюенты) рассматривались как изменяющиеся во времени, а их скорости изменения (флюксии) были аналогами производных. Его работа была тесно связана с задачами механики, в частности, с изучением движения тел под действием сил. Ньютон активно использовал разложение функций в бесконечные ряды, что позволяло ему легко их дифференцировать и интегрировать. Однако он не спешил с публикацией своих результатов.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (Германия) создал свою версию анализа в 1675–1684 годах. Его подход был более формальным и абстрактным. Он ввел понятия дифференциала ($dx$, $dy$) как бесконечно малого приращения переменных и интеграла как суммы бесконечного числа таких дифференциалов. Лейбниц создал чрезвычайно удачную символику, которая используется и по сей день: $\frac{dy}{dx}$ для производной и $\int$ для интеграла. Он же сформулировал основные правила дифференцирования (производная произведения, частного и т.д.). Свои результаты Лейбниц опубликовал в 1684 и 1686 годах, опередив Ньютона.

Главным достижением обоих ученых было осознание и доказательство того, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Этот факт составляет содержание основной теоремы анализа, ключевым выражением которой является формула Ньютона-Лейбница:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Независимое создание анализа двумя учеными привело к ожесточенному спору о приоритете, который длился много лет. Сегодня историки науки признают, что оба математика внесли решающий и независимый вклад в создание исчисления.

Несмотря на свою мощь, первоначальные версии анализа Ньютона и Лейбница не имели строгого логического обоснования. Понятие бесконечно малой величины было интуитивным и противоречивым, что давало повод для критики (например, знаменитая критика епископа Беркли, назвавшего бесконечно малые "призраками усопших количеств").

Создание строгого фундамента для математического анализа произошло в XIX веке. Ключевую роль в этом сыграло введение понятия предела. Французский математик Огюстен Луи Коши в 1820-х годах построил теорию на основе этого понятия. Он дал строгие определения производной и интеграла:

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ была определена как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Определенный интеграл был определен как предел интегральных сумм. Окончательную строгость теории придали работы немецкого математика Карла Вейерштрасса, который ввел общепринятое сегодня $(\varepsilon, \delta)$-определение предела, полностью исключив из анализа туманные представления о бесконечно малых.

Таким образом, история создания дифференциального и интегрального исчислений — это путь от интуитивных геометрических и физических задач к мощной и логически строгой математической теории, которая стала фундаментом для всей современной науки и техники.

Ответ: История возникновения дифференциального и интегрального исчислений представляет собой многовековой процесс, начавшийся с «метода исчерпывания» в античности (Архимед), продолжившийся в трудах математиков XVII века (Кавальери, Ферма, Барроу) и завершившийся созданием целостной теории Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем, которые независимо друг от друга открыли основную теорему анализа. Позднее, в XIX веке, благодаря работам Коши и Вейерштрасса, исчисление получило строгое логическое обоснование на основе понятия предела.