Номер 1.4, страница 422 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.4. Каким образом следует учитывать наибольшее и наименьшее значения функции при построении графика функции на экране компьютера?

Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке играют ключевую роль при построении ее графика на экране компьютера. Они необходимы для корректного масштабирования и отображения графика в пределах выделенной области (окна или холста), чтобы он был одновременно полным и наглядным.

Процесс учета этих значений можно разбить на следующие этапы:

1. Определение диапазона значений функции.

   Прежде всего, для заданного интервала аргумента $x \in [x_{min}, x_{max}]$, необходимо найти наименьшее ($y_{min}$) и наибольшее ($y_{max}$) значения функции $f(x)$. В компьютерной графике это обычно делается численно: функция вычисляется в большом количестве точек на отрезке $[x_{min}, x_{max}]$, и среди полученных значений находятся минимальное и максимальное.

   $y_{min} = \min_{x \in [x_{min}, x_{max}]} f(x)$

   $y_{max} = \max_{x \in [x_{min}, x_{max}]} f(x)$

2. Масштабирование по вертикали (оси Y).

   Экран компьютера имеет ограниченное разрешение в пикселях. Допустим, высота области для построения графика составляет $H$ пикселей. Диапазон значений функции, который равен $y_{max} - y_{min}$, должен быть "растянут" или "сжат" так, чтобы он полностью поместился в эти $H$ пикселей. Наибольшее и наименьшее значения как раз и определяют этот диапазон и, следовательно, необходимый масштаб.

3. Преобразование координат.

   Каждая точка графика $(x, y)$ из математической системы координат должна быть преобразована в пиксельную (экранную) координату $(sx, sy)$. Если для оси $X$ преобразование зависит от $x_{min}$ и $x_{max}$, то для оси $Y$ оно напрямую зависит от $y_{min}$ и $y_{max}$.

   Формула для преобразования вертикальной координаты $y$ в экранную координату $sy$ выглядит следующим образом (учитывая, что в большинстве графических систем ось Y направлена вниз):

   $sy = H \cdot \left(1 - \frac{y - y_{min}}{y_{max} - y_{min}}\right)$

   Здесь:

   • $y$ — текущее значение функции.
   • $y_{min}, y_{max}$ — минимальное и максимальное значения функции на отрезке.
   • $H$ — высота области для построения графика в пикселях.
   • $sy$ — итоговая пиксельная координата по вертикали.

   Дробь $\frac{y - y_{min}}{y_{max} - y_{min}}$ нормализует значение $y$ в диапазон $[0, 1]$. Умножение на $H$ масштабирует его до диапазона $[0, H]$. Вычитание из единицы (или, что эквивалентно, вычитание результата из $H$) инвертирует ось, чтобы $y_{max}$ соответствовал верху экрана (малой координате $sy$), а $y_{min}$ — низу (большой координате $sy$).

Последствия неверного определения $y_{min}$ и $y_{max}$:

• Если выбранный диапазон по оси Y меньше реального, часть графика (пики или впадины) окажется за пределами видимой области экрана (произойдет отсечение или клиппинг).
• Если выбранный диапазон значительно больше реального, график будет выглядеть очень "сплюснутым" по вертикали, занимая лишь малую часть выделенного пространства. Это затруднит анализ его особенностей.

Таким образом, точное определение $y_{min}$ и $y_{max}$ является обязательным шагом для построения наглядного и информативного графика функции, который оптимально использует доступное экранное пространство.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значения функции ($y_{max}$ и $y_{min}$) на заданном отрезке используются для определения вертикального масштаба графика. Они позволяют преобразовать математические координаты точек функции в пиксельные координаты экрана так, чтобы весь график полностью и наглядно помещался в отведенную для него область. Это достигается путем линейного отображения диапазона значений $[y_{min}, y_{max}]$ на диапазон доступных пиксельных высот $[0, H]$.