Номер 1.9, страница 423 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.9. Придумайте самостоятельно и выполните задания, иллюстрирующие построение графика $y = f(kx)$ с помощью табличного редактора и с помощью графического редактора. Какие отдельные случаи надо рассмотреть?

Для иллюстрации построения графика функции $y = f(kx)$ выберем в качестве исходной функции $f(x) = \sin(x)$. Таким образом, мы будем строить графики функции $y = \sin(kx)$ для различных значений коэффициента $k$. Это преобразование представляет собой горизонтальное сжатие или растяжение графика исходной функции относительно оси OY.

При построении графика функции $y=f(kx)$ из графика $y=f(x)$ необходимо рассмотреть различные случаи для коэффициента $k$, так как от его значения зависит вид преобразования.

• $k = 1$: Это базовый случай. График $y=f(1 \cdot x)$ совпадает с графиком $y=f(x)$.
• $k > 1$: Происходит горизонтальное сжатие графика к оси OY в $k$ раз. Например, для $k=2$ график функции $y=f(2x)$ будет в 2 раза "уже", чем график $y=f(x)$.
• $0 < k < 1$: Происходит горизонтальное растяжение графика от оси OY в $1/k$ раз. Например, для $k=0.5$ график функции $y=f(0.5x)$ будет в $1/0.5 = 2$ раза "шире", чем график $y=f(x)$.
• $k = -1$: График $y=f(-x)$ является симметричным отражением графика $y=f(x)$ относительно оси OY.
• $k < -1$: Это комбинация двух преобразований: сжатие к оси OY в $|k|$ раз и симметричное отражение относительно оси OY. Например, $y=f(-2x)$ — это график $y=f(2x)$, отраженный относительно OY.
• $-1 < k < 0$: Это комбинация растяжения от оси OY в $1/|k|$ раз и симметричного отражения относительно оси OY. Например, $y=f(-0.5x)$ — это график $y=f(0.5x)$, отраженный относительно OY.
• $k = 0$: Это вырожденный случай. Функция становится константой: $y=f(0 \cdot x) = f(0)$. Графиком является горизонтальная прямая $y=c$, где $c=f(0)$. Для нашего примера $f(x)=\sin(x)$, получим $y=\sin(0)=0$.

Ответ: Необходимо рассмотреть случаи, когда $k=1$; $k>1$; $0<k<1$; $k=-1$; $k<-1$; $-1<k<0$; $k=0$. Эти случаи описывают соответственно: отсутствие преобразования, горизонтальное сжатие, горизонтальное растяжение, отражение относительно оси OY, сжатие с отражением, растяжение с отражением и вырождение в константу.

Рассмотрим построение графиков $y=\sin(x)$, $y=\sin(2x)$ и $y=\sin(0.5x)$ в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или Google Sheets).

1. Создание таблицы значений.

   В первом столбце (A) создадим набор значений для аргумента $x$. Например, от $-2\pi$ до $2\pi$ с шагом 0,2. В ячейку A1 введем "x". В ячейку A2 введем формулу для вычисления $-2\pi$ (в русскоязычном Excel это `=-2*ПИ()`). В ячейку A3 введем `=A2+0,2` и протянем эту формулу вниз до получения значения, близкого к $2\pi$ (примерно 6,28).

   Во втором столбце (B) вычислим значения для $y=\sin(x)$. В ячейку B1 введем заголовок "sin(x)". В ячейку B2 введем формулу `=SIN(A2)` (или `=SIN(A2)` в зависимости от языковых настроек) и скопируем ее вниз для всех значений $x$.

   В третьем столбце (C) вычислим значения для $y=\sin(2x)$ (случай $k=2$, сжатие). В C1 введем "sin(2x)". В C2 введем формулу `=SIN(2*A2)` и скопируем ее вниз.

   В четвертом столбце (D) вычислим значения для $y=\sin(0.5x)$ (случай $k=0.5$, растяжение). В D1 введем "sin(0.5x)". В D2 введем формулу `=SIN(0.5*A2)` и скопируем ее вниз.

2. Примерный вид таблицы:

   A (x)	B (sin(x))	C (sin(2x))	D (sin(0.5x))
   -6,283	0,000	0,000	0,000
   -6,083	0,200	0,395	0,100
   -5,883	0,389	0,746	0,198
   ...	...	...	...

3. Построение графика.

   Выделите все столбцы с данными (A, B, C, D). В меню редактора выберите "Вставка" -> "Диаграмма". Выберите тип диаграммы "Точечная с гладкими кривыми".

4. Анализ результата.

   На полученной диаграмме будут видны три графика. График $y=\sin(2x)$ будет иметь период в два раза меньше, чем у $y=\sin(x)$ (сжатие к оси OY). График $y=\sin(0.5x)$ будет иметь период в два раза больше (растяжение от оси OY). Все графики будут пересекаться в точках, где $x$ кратен $\pi$.

Ответ: Для построения графика в табличном редакторе необходимо создать столбцы со значениями аргумента $x$ и соответствующими значениями функций $f(x)$ и $f(kx)$ для разных $k$, а затем на основе этих данных построить точечную диаграмму с гладкими кривыми.

Использование специализированного графического редактора для построения функций (например, Desmos, GeoGebra или других онлайн-построителей графиков) является наиболее наглядным способом.

1. Построение базового графика.

   В поле для ввода формул введите исходную функцию: y = sin(x). Программа немедленно отобразит ее график.

2. Построение преобразованных графиков.

   В новых полях для ввода последовательно введите формулы для различных случаев $k$:

   • y = sin(2x) (для $k=2$): вы увидите, что график сжался по горизонтали, его период уменьшился вдвое.
   • y = sin(0.5x) (для $k=0.5$): график растянулся по горизонтали, его период увеличился вдвое.
   • y = sin(-x) (для $k=-1$): график отразился относительно оси OY. (Так как синус - нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$, этот график также будет являться отражением исходного относительно оси OX).

   Редактор обычно позволяет раскрасить графики в разные цвета для удобства сравнения.

3. Использование интерактивного элемента (слайдера).

   Самый эффективный способ — использовать параметр. Введите функцию в виде y = sin(k*x). Программа предложит создать "слайдер" для переменной $k$.

   Перемещая ползунок слайдера, вы можете в реальном времени наблюдать, как меняется график функции в зависимости от значения $k$. Это позволяет наглядно изучить все рассмотренные случаи:

   • Когда вы двигаете $k$ от 1 в сторону увеличения, график сжимается к оси OY.
   • Когда $k$ находится в интервале $(0, 1)$, график растягивается от оси OY.
   • Когда $k$ становится отрицательным, график отражается относительно оси OY.
   • Когда $k=0$, график превращается в прямую линию $y=0$.

Ответ: В графическом редакторе для построения функций достаточно ввести формулы $y=f(x)$ и $y=f(kx)$ в поля для ввода. Использование слайдера для коэффициента $k$ позволяет динамически наблюдать за преобразованием графика (сжатием, растяжением, отражением) при изменении $k$.