Номер 1.15, страница 423 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.15.!* Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке. Можно ли с помощью этой подпрограммы найти все нули этой функции? Для каких функций это возможно? Сделайте вывод об особенностях решения уравнений с помощью компьютера. Найдите в Интернете информацию о численных методах решения уравнений.

Можно ли с помощью этой подпрограммы найти все нули этой функции?

Нет, в общем случае найти все нули произвольной функции с помощью такой подпрограммы невозможно. Это связано с фундаментальными ограничениями вычислительной техники при работе с непрерывными областями.

Основные причины:

1. Непрерывность против дискретности: Компьютер может проверить значение функции только в конечном числе точек. Область определения функции (например, все действительные числа) непрерывна и содержит бесконечное множество точек. Между любыми двумя точками, которые мы проверим, может находиться нуль функции, который мы пропустим.
2. Поведение функции: Функция может касаться оси, но не пересекать ее (например, $f(x) = (x-\sqrt{2})^2$). В этом случае значения функции по обе стороны от корня будут одного знака, и методы, основанные на смене знака, не найдут этот корень.
3. Бесконечное число нулей: Некоторые функции имеют бесконечное число нулей (например, $f(x) = \sin(x)$ на всей числовой оси). Программа не может завершить свою работу, перечислив их все.

Ответ: В общем случае найти все нули функции невозможно.

Для каких функций это возможно?

Нахождение всех нулей возможно для ограниченного класса функций, о которых у нас есть дополнительная априорная информация.

• Многочлены (полиномы): Для многочлена степени $n$ известно, что он имеет не более $n$ действительных корней. Если мы сможем найти $n$ различных действительных корней, мы можем быть уверены, что нашли их все. Существуют алгоритмы, которые позволяют гарантированно находить все корни многочлена (включая комплексные), но они требуют знания коэффициентов многочлена, а не просто "черного ящика" для вычисления его значения.
• Функции с известным числом корней на заданном интервале: Если из аналитического исследования функции известно, что на отрезке $[a, b]$ она имеет ровно один корень (например, если функция на этом отрезке непрерывна и строго монотонна, а $f(a) \cdot f(b) < 0$), то его можно найти с любой заданной точностью.
• Функции, для которых удалось выполнить "изоляцию корней": Если удалось разбить область определения функции на конечное число отрезков, в каждом из которых содержится ровно один корень, то можно последовательно найти каждый из них.

Ответ: Это возможно для функций, для которых заранее известно конечное число корней или для которых можно аналитически определить интервалы, содержащие ровно по одному корню.

Сделайте вывод об особенностях решения уравнений с помощью компьютера.

Решение уравнений вида $f(x)=0$ с помощью компьютера имеет ряд ключевых особенностей, отличающих его от аналитического (символьного) решения:

1. Приближенный характер решений: Компьютерные методы, как правило, находят не точное значение корня, а его приближение с некоторой заданной точностью $\epsilon$. Результатом является не число, а интервал, в котором гарантированно лежит корень.
2. Итеративность: Большинство численных методов являются итерационными. Они начинают с начального приближения и на каждом шаге (итерации) уточняют его, приближаясь к истинному корню.
3. Необходимость априорной информации: Для успешной работы многих алгоритмов требуется дополнительная информация о функции: интервал, на котором находится корень, хорошее начальное приближение, непрерывность функции, наличие производной и т.д.
4. Отсутствие универсальности: Не существует единого численного метода, который был бы эффективен для решения абсолютно всех уравнений. Выбор метода зависит от свойств функции и требований к точности и скорости вычислений.
5. Невозможность доказать отсутствие корней: С помощью численного перебора невозможно доказать, что у функции нет корней на некотором интервале. Можно лишь утверждать, что в проверенных точках значение функции не равно нулю.

Ответ: Особенность решения уравнений на компьютере заключается в том, что оно почти всегда является численным (приближенным) и итерационным, требует предварительного анализа функции и не гарантирует нахождения всех решений в общем случае.

Найдите в Интернете информацию о численных методах решения уравнений.

Существует множество численных методов для нахождения корней уравнения $f(x)=0$. Вот некоторые из наиболее известных:

1. Метод дихотомии (метод деления пополам)
Это самый простой и надежный метод. Он требует, чтобы был задан отрезок $[a, b]$, на концах которого непрерывная функция $f(x)$ принимает значения разных знаков ($f(a) \cdot f(b) < 0$). Суть метода: отрезок делится пополам точкой $c = (a+b)/2$. Далее выбирается та половина отрезка, на концах которой функция по-прежнему имеет разные знаки, и процесс повторяется. Метод гарантированно сходится, но довольно медленно.

2. Метод Ньютона (метод касательных)
Один из самых быстрых методов. Он требует знания не только самой функции $f(x)$, но и ее производной $f'(x)$. Исходя из начального приближения $x_0$, следующее приближение находится как точка пересечения касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ с осью абсцисс. Итерационная формула: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Метод сходится очень быстро (квадратичная сходимость) при удачном выборе начального приближения, но может расходиться, если $x_0$ выбрано плохо.

3. Метод секущих
Модификация метода Ньютона для случаев, когда производную сложно или невозможно вычислить. Вместо касательной используется секущая, проведенная через две последние приближенные точки. Формула: $x_{n+1} = x_n - f(x_n) \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$. Этот метод требует двух начальных приближений. Скорость сходимости выше, чем у метода дихотомии, но ниже, чем у метода Ньютона. Сходимость также не всегда гарантирована.

4. Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
Исходное уравнение $f(x)=0$ преобразуется к эквивалентному виду $x = \phi(x)$. Затем, начиная с начального приближения $x_0$, строится последовательность $x_{n+1} = \phi(x_n)$. Метод сходится, если на интервале, содержащем корень, выполняется условие $|\phi'(x)| < 1$. Успех метода сильно зависит от того, как именно уравнение было приведено к виду $x = \phi(x)$.

Ответ: К основным численным методам решения уравнений относятся метод дихотомии, метод Ньютона, метод секущих и метод простой итерации.