Номер 1.14, страница 423 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.14.* Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой непрерывной функции в любой точке, и известны все нули этой функции.

1) Запишите алгоритм, который выдаёт все промежутки знакопостоянства этой функции.

2) Запишите алгоритм построения графического изображения нулей и промежутков знакопостоянства этой функции (см. рисунки к § 8).

1) Запишите алгоритм, который выдаёт все промежутки знакопостоянства этой функции.

Пусть у нас есть подпрограмма $f(x)$ для вычисления значения функции и известный список всех её нулей. Алгоритм для нахождения промежутков знакопостоянства будет следующим:

1. Сортировка нулей. Получаем на вход список всех нулей функции. Сортируем этот список в порядке возрастания. Пусть отсортированный список нулей — это $x_1, x_2, \dots, x_n$, где $x_1 < x_2 < \dots < x_n$.

2. Формирование интервалов. Отсортированные нули разбивают всю числовую ось на $n+1$ открытый промежуток:
$(-\infty, x_1)$, $(x_1, x_2)$, $(x_2, x_3)$, $\dots$, $(x_{n-1}, x_n)$, $(x_n, +\infty)$.
Поскольку функция непрерывна, на каждом из этих интервалов она сохраняет свой знак (либо строго положительна, либо строго отрицательна).

3. Определение знака на каждом интервале. Для каждого полученного интервала необходимо определить знак функции. Для этого достаточно вычислить значение функции в одной произвольной (тестовой) точке внутри этого интервала.
- Для интервала $(-\infty, x_1)$ выбираем любую тестовую точку $t_0 < x_1$ (например, $t_0 = x_1 - 1$) и вычисляем знак $f(t_0)$.
- Для каждого интервала $(x_i, x_{i+1})$, где $i$ изменяется от 1 до $n-1$, выбираем тестовую точку $t_i$ такую, что $x_i < t_i < x_{i+1}$ (например, середина отрезка $t_i = (x_i + x_{i+1})/2$) и вычисляем знак $f(t_i)$.
- Для интервала $(x_n, +\infty)$ выбираем любую тестовую точку $t_n > x_n$ (например, $t_n = x_n + 1$) и вычисляем знак $f(t_n)$.

4. Вывод результата. Сформировать и выдать список, состоящий из пар: интервал и соответствующий ему знак ('+' или '-').

Ответ: Алгоритм состоит из сортировки нулей функции, формирования интервалов между ними (и крайних интервалов до $\pm\infty$), выбора тестовой точки в каждом интервале для вычисления знака функции и вывода списка интервалов с их знаками.

2) Запишите алгоритм построения графического изображения нулей и промежутков знакопостоянства этой функции (см. рисунки к § 8).

Данный алгоритм использует результаты, полученные в предыдущем пункте (отсортированный список нулей и знаки на интервалах), и предназначен для визуализации методом интервалов.

1. Построение числовой оси. Начертить горизонтальную прямую — ось абсцисс (ось $Ox$). Указать на ней направление.

2. Отметка и подпись нулей. Взять отсортированный список нулей $x_1, x_2, \dots, x_n$. Нанести на числовую ось точки, соответствующие этим нулям, сохраняя их порядок и примерный масштаб. Под каждой точкой подписать её числовое значение.

3. Расстановка знаков. Используя информацию о знаках на интервалах, полученную в алгоритме из пункта 1, проставить над каждым интервалом на оси соответствующий знак: '+' (если функция положительна) или '-' (если функция отрицательна).

4. Изображение кривой знаков (опционально). Для большей наглядности можно нарисовать схематическую волнообразную кривую ("змейку"), которая:
- Пересекает числовую ось в точках, соответствующих нулям функции ($x_1, x_2, \dots, x_n$).
- Проходит выше оси на тех интервалах, где стоит знак '+'.
- Проходит ниже оси на тех интервалах, где стоит знак '-'.

Ответ: Алгоритм включает в себя рисование числовой оси, отметку на ней отсортированных нулей функции, простановку знаков ('+' или '-') над интервалами между нулями в соответствии с результатами предыдущего алгоритма, и, для наглядности, проведение схематической кривой, отражающей смену знаков.