Номер 2.3, страница 424 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.3.!* Пользуясь результатами задачи 2.2, запишите алгоритм, который по входным значениям $a$, $m$ и $n$ выдаёт значение $a^{\frac{m}{n}}$. Какие проверки входных данных надо сделать и какие частные случаи рассмотреть?

Для вычисления значения $a^{\frac{m}{n}}$ используется тождество $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. Этот способ является предпочтительным по сравнению с вычислением $\sqrt[n]{a^m}$, поскольку он позволяет избежать работы с очень большими или очень маленькими промежуточными значениями $a^m$, что может привести к переполнению или потере точности вычислений.

Алгоритм состоит из трех основных частей: проверка входных данных и обработка частных случаев, вычисление корня n-ой степени и возведение результата в степень m.

1. Проверка входных данных и частных случаев. Перед началом вычислений необходимо провести ряд проверок, чтобы убедиться в корректности данных и обработать особые ситуации, которые имеют простое, заранее известное решение. Эти проверки и случаи подробно рассмотрены в следующем разделе.

2. Упрощение дроби. Для повышения точности и эффективности вычислений рекомендуется сократить дробь $\frac{m}{n}$. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя: $g = \text{НОД}(|m|, |n|)$, и затем обновить значения: $m' = m/g$, $n' = n/g$. Дальнейшие вычисления проводятся с $m'$ и $n'$.

3. Нормализация знаменателя. Если после упрощения $n' < 0$, следует изменить знаки у числителя и знаменателя: $n'' = -n'$, $m'' = -m'$. Это позволяет всегда работать с положительным показателем корня.

4. Определение знака результата. Если $a < 0$ (это возможно только если $n$ нечетно, что проверяется на первом шаге), то знак итогового результата зависит от четности $m$. Если $m$ нечетно, результат будет отрицательным, если $m$ четно — положительным. После определения итогового знака можно продолжить вычисления с $|a|$.

5. Вычисление корня $d = \sqrt[n]{|a|}$. Эта операция выполняется численными методами, например, методом двоичного поиска (бисекции) или методом Ньютона, с заданной точностью $\epsilon$.

   • Например, для метода бисекции, если $|a| \ge 1$, искомый корень находится в диапазоне $[1, |a|]$. Если $0 < |a| < 1$, корень находится в диапазоне $[|a|, 1]$.
   • Далее итеративно сужается диапазон поиска до тех пор, пока не будет найдено значение $d$ такое, что $|d^n - |a|| < \epsilon$.

6. Возведение в степень $y = d^m$. Полученный корень $d$ возводится в целую степень $m$. Если показатель степени $m$ отрицательный, сначала вычисляется $d^{|m|}$, а затем находится обратное значение. Для эффективного вычисления целочисленной степени используется алгоритм быстрого возведения в степень (бинарное возведение в степень).

7. Формирование итогового результата. К полученному значению $y$ применяется знак, определенный на шаге 4 (если $a$ было отрицательным).

Эти проверки необходимо выполнить в самом начале алгоритма, чтобы обработать некорректные входные данные и ситуации, которые имеют простое решение без выполнения сложных вычислений.

• Знаменатель $n = 0$. Показатель степени $\frac{m}{n}$ не определен, так как это приводит к делению на ноль. Алгоритм должен сообщить об ошибке.

• Основание $a < 0$ и четный знаменатель $n$. Корень четной степени из отрицательного числа не определен в поле действительных чисел. Алгоритм должен сообщить об ошибке.

• Основание $a=0$.

  • Если показатель $m/n > 0$ (т.е. $m$ и $n$ одного знака), то $0^{\frac{m}{n}} = 0$.
  • Если показатель $m/n < 0$ (т.е. $m$ и $n$ разных знаков), то происходит деление на ноль ($1/0^{|m/n|}$), и операция не определена. Алгоритм должен сообщить об ошибке.
  • Если $m=0$ (и $n \ne 0$), возникает неопределенность $0^0$. В большинстве языков программирования и математических пакетов принимается, что $0^0 = 1$.

• Числитель $m=0$. Если $m=0$ и $n \ne 0$, то показатель равен нулю. Для любого $a \ne 0$, $a^0 = 1$. Случай $a=0$ рассмотрен выше.

• Основание $a=1$. Для любого определенного показателя $m/n$, $1^{\frac{m}{n}} = 1$.

• Знаменатель $n=1$. Задача сводится к возведению в целую степень $a^m$, что является более простой операцией, не требующей извлечения корня.

Ответ: Алгоритм вычисления $a^{\frac{m}{n}}$ должен начинаться с проверок входных данных на корректность (например, $n \ne 0$; $a \ge 0$ при четном $n$) и обработки частных случаев ($a=0, a=1, m=0$). Основная часть алгоритма заключается в последовательном выполнении двух операций: вычисление корня $d = \sqrt[n]{a}$ с помощью численного метода (например, бисекции) и возведение результата $d$ в целую степень $m$ (например, с помощью алгоритма бинарного возведения в степень). Выбор порядка операций $(\sqrt[n]{a})^m$ является предпочтительным для численной устойчивости.