Номер 3.6, страница 425 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.6.! С помощью табличного редактора проиллюстрируйте преобразования графиков функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$; придумайте для этого примеры, аналогичные примеру 3 § 21.

Для иллюстрации преобразований графиков тригонометрических функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ с помощью табличного редактора (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc) необходимо выполнить следующие шаги: создать таблицу значений для исходной и преобразованной функций, а затем на основе этой таблицы построить их графики на одной координатной плоскости.

Общий вид преобразованной тригонометрической функции: $y = A \cdot \sin(k(x - b)) + d$ или $y = A \cdot \cos(k(x - b)) + d$.

Рассмотрим каждый тип преобразования на конкретных примерах.

Рассмотрим функции $y = \cos(x)$ и $y = 2\cos(x)$. Коэффициент $A=2$ должен растянуть график функции вдоль оси OY в 2 раза.

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Создадим столбец для значений аргумента $x$. В ячейку A1 введем заголовок "x". В ячейку A2 введем начальное значение, например, с помощью формулы =-2*PI() (что соответствует $-2\pi$). В ячейку A3 введем формулу =A2+PI()/12 для получения следующего значения с шагом $\pi/12$. Протянем (скопируем) эту формулу вниз, чтобы заполнить диапазон значений, например, до $2\pi$.
2. В ячейку B1 введем название исходной функции: "cos(x)". В ячейку B2 введем формулу =COS(A2). Протянем формулу вниз на весь диапазон значений $x$.
3. В ячейку C1 введем название преобразованной функции: "2*cos(x)". В ячейку C2 введем формулу =2*COS(A2). Протянем формулу вниз.
4. Выделим все три столбца с данными (A, B, C) и на вкладке "Вставка" выберем тип диаграммы "Точечная с гладкими кривыми".

На полученном графике будет видно, что кривая для $y = 2\cos(x)$ имеет ту же форму и период, что и $y = \cos(x)$, но ее "размах" по вертикали в два раза больше: значения изменяются в диапазоне от -2 до 2, в то время как для исходной функции диапазон был от -1 до 1.

Ответ: Преобразование вида $y = A \cdot f(x)$ приводит к растяжению графика функции $y=f(x)$ от оси OX в $A$ раз при $|A| > 1$ и сжатию к оси OX в $1/A$ раз при $0 < |A| < 1$. Если $A<0$, график также отражается относительно оси OX.

Рассмотрим функции $y = \sin(x)$ и $y = \sin(2x)$. Коэффициент $k=2$ должен сжать график функции вдоль оси OX в 2 раза, то есть уменьшить период вдвое.

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Столбец A со значениями $x$ создаем аналогично предыдущему примеру, в диапазоне от $-2\pi$ до $2\pi$.
2. В ячейку B1 введем "sin(x)". В ячейку B2 введем формулу =SIN(A2) и протянем ее вниз.
3. В ячейку C1 введем "sin(2x)". В ячейку C2 введем формулу =SIN(2*A2) и протянем ее вниз.
4. Построим график "Точечная с гладкими кривыми" для данных из трех столбцов.

На графике будет видно, что функция $y = \sin(2x)$ совершает два полных колебания на отрезке $[0, 2\pi]$, в то время как исходная функция $y = \sin(x)$ — только одно. Период функции $y = \sin(2x)$ равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: Преобразование вида $y = f(kx)$ приводит к сжатию графика функции $y=f(x)$ к оси OY в $k$ раз при $|k| > 1$ и растяжению от оси OY в $1/k$ раз при $0 < |k| < 1$. Период функции изменяется по формуле $T_{new} = T_{old}/|k|$.

Рассмотрим функции $y = \sin(x)$ и $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Вычитание константы из аргумента функции означает сдвиг исходного графика вправо на эту константу.

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Столбец A со значениями $x$ создаем в диапазоне от $-2\pi$ до $2\pi$.
2. В ячейку B1 введем "sin(x)". В ячейку B2 введем формулу =SIN(A2) и протянем ее вниз.
3. В ячейку C1 введем "sin(x-pi/2)". В ячейку C2 введем формулу =SIN(A2-PI()/2) и протянем ее вниз.
4. Построим график для трех столбцов.

Полученный график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ будет полностью совпадать с графиком $y = \sin(x)$, но сдвинутым вправо по оси OX на величину $\frac{\pi}{2}$. (Этот график также совпадает с графиком функции $y = -\cos(x)$).

Ответ: Преобразование вида $y = f(x - b)$ сдвигает график функции $y=f(x)$ вдоль оси OX на $|b|$ единиц: вправо, если $b > 0$, и влево, если $b < 0$.

Рассмотрим функции $y = \cos(x)$ и $y = \cos(x) + 1$. Свободный член $d=1$ должен сдвинуть исходный график вверх на 1 единицу.

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Столбец A со значениями $x$ создаем в диапазоне от $-2\pi$ до $2\pi$.
2. В ячейку B1 введем "cos(x)". В ячейку B2 введем формулу =COS(A2) и протянем ее вниз.
3. В ячейку C1 введем "cos(x)+1". В ячейку C2 введем формулу =COS(A2)+1 и протянем ее вниз.
4. Построим график для трех столбцов.

На графике будет видно, что график функции $y = \cos(x)+1$ получен из графика $y = \cos(x)$ параллельным переносом вверх вдоль оси OY на 1 единицу. Ось колебаний сместилась с $y=0$ на $y=1$, а значения функции теперь лежат в диапазоне от 0 до 2.

Ответ: Преобразование вида $y = f(x) + d$ сдвигает график функции $y=f(x)$ вдоль оси OY на $|d|$ единиц: вверх, если $d > 0$, и вниз, если $d < 0$.

Рассмотрим более сложный пример: сравним графики $y = \sin(x)$ и $y = 3\sin(0.5x + \frac{\pi}{4}) - 1$.

Это преобразование включает в себя:

• Изменение амплитуды ($A=3$).
• Изменение периода (коэффициент $k=0.5$, период $T = 2\pi/0.5 = 4\pi$).
• Сдвиг по фазе (перепишем функцию: $y = 3\sin(0.5(x + \frac{\pi}{2})) - 1$, сдвиг влево на $\frac{\pi}{2}$).
• Вертикальный сдвиг ($d=-1$, сдвиг вниз на 1).

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Для наглядности возьмем больший диапазон для $x$, например, от $-4\pi$ до $4\pi$.
2. Столбцы B и C заполним формулами: =SIN(A2) и =3*SIN(0.5*A2+PI()/4)-1 соответственно.
3. Построим график.

На графике будет наглядно видно совместное действие всех четырех преобразований: график растянут по вертикали, растянут по горизонтали, сдвинут влево и сдвинут вниз по сравнению с исходной синусоидой.

Ответ: Комбинированные преобразования графика выполняются последовательно, применяя каждое из базовых преобразований: изменение амплитуды, изменение периода, горизонтальный и вертикальный сдвиги.