Номер 5.1, страница 425 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.1. Каким образом с помощью табличного редактора можно проиллюстрировать понятие предела функции в точке?

Для иллюстрации понятия предела функции в точке с помощью табличного редактора (например, Microsoft Excel или Google Sheets) можно использовать численный и графический методы. Идея состоит в том, чтобы показать, как значения функции $f(x)$ ведут себя при приближении аргумента $x$ к некоторой точке $a$ с двух сторон (слева и справа).

Рассмотрим на конкретном примере: найдем предел функции $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ при $x$, стремящемся к нулю ($x \to 0$). Известно, что этот предел равен 1 (первый замечательный предел), хотя сама функция в точке $x=0$ не определена (деление на ноль).

1. Создание таблицы значений

Создадим таблицу, в которой будем вычислять значения функции для $x$, которые становятся всё ближе и ближе к 0.

• Столбец A: значения $x$, приближающиеся к 0 слева ($x \to 0^-$). Заполним ячейки значениями, которые всё ближе к нулю, оставаясь отрицательными. Например: -1; -0.5; -0.1; -0.01; -0.001; -0.0001.
• Столбец B: значения $f(x)$ для $x$ из столбца A. В ячейку B1 введем формулу для вычисления значения функции, ссылаясь на ячейку A1. В большинстве табличных редакторов формула будет выглядеть как =SIN(A1)/A1. Затем эту формулу нужно "растянуть" вниз на все значения в столбце A.
• Столбец C: значения $x$, приближающиеся к 0 справа ($x \to 0^+$). Заполним ячейки положительными значениями, стремящимися к нулю. Например: 1; 0.5; 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001.
• Столбец D: значения $f(x)$ для $x$ из столбца C. Аналогично столбцу B, в ячейку D1 вводится формула =SIN(C1)/C1, которая затем копируется на весь столбец.

Примерно так будет выглядеть таблица:

Из таблицы видно, что чем ближе $x$ к 0 (и слева, и справа), тем ближе значение $f(x)$ к 1. Это численная иллюстрация того, что $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.

2. Построение графика

На основе данных из столбцов A, B, C и D можно построить график. Для этого нужно выделить эти четыре столбца и выбрать тип диаграммы "Точечная" (Scatter plot).

• График наглядно покажет, что кривая функции с обеих сторон "подходит" к точке с координатами $(0, 1)$.
• При этом в самой точке $x=0$ будет "выколотая точка" или разрыв, поскольку функция там не определена. Это очень важный момент, который помогает понять, что предел в точке и значение функции в точке — это разные понятия.

Таким образом, табличный редактор позволяет численно (через таблицу) и визуально (через график) продемонстрировать поведение функции в окрестности точки, наглядно иллюстрируя фундаментальное понятие предела.

Ответ: Понятие предела функции в точке можно проиллюстрировать в табличном редакторе путем создания таблицы значений аргумента $x$, бесконечно приближающихся к заданной точке $a$ слева и справа, и вычисления соответствующих им значений функции $f(x)$. Анализ таблицы показывает, что значения $f(x)$ стремятся к определенному числу — пределу. Для большей наглядности можно построить точечный график по этим данным, который визуально покажет, как ветви функции сходятся к точке с ординатой, равной пределу, даже если сама функция в этой точке не определена.