Номер 4.2, страница 425 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.2. Научитесь находить значения функций арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс с помощью микрокалькулятора; программы «Калькулятор» из набора стандартных программ на компьютере; стандартных функций изучаемого языка программирования.

Обратные тригонометрические функции (аркфункции) — это функции, обратные к тригонометрическим функциям. Они позволяют найти угол по известному значению его синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Рассмотрим, как вычислять их значения с помощью различных инструментов.

С помощью микрокалькулятора

Большинство инженерных (научных) микрокалькуляторов имеют встроенные функции для вычисления арксинуса, арккосинуса и арктангенса.

1. Выберите режим измерения углов. Перед вычислениями убедитесь, что калькулятор настроен на нужные единицы — градусы (DEG) или радианы (RAD). Обычно для этого есть специальная кнопка (например, `DRG` или `MODE`).
2. Введите число. Наберите на калькуляторе число, для которого нужно найти аркфункцию (например, 0.5).
3. Используйте обратную функцию. Как правило, нужно нажать кнопку `SHIFT`, `INV` или `2nd`, а затем соответствующую тригонометрическую кнопку (`sin`, `cos`, `tan`). На многих калькуляторах обратные функции вынесены на те же кнопки и обозначены как $sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$ или `asin`, `acos`, `atan`.

Пример: Найти $arcsin(0.5)$ в градусах.

1. Переключите калькулятор в режим DEG.
2. Введите `0.5`.
3. Нажмите `2nd`, затем `sin` (или просто кнопку $sin^{-1}$).
4. Результат на экране будет `30`.

Вычисление арккотангенса ($arccot(x)$)

Эта функция редко встречается на калькуляторах. Для её вычисления используется формула, связывающая арккотангенс и арктангенс:

• В радианах: $arccot(x) = \frac{\pi}{2} - arctan(x)$
• В градусах: $arccot(x) = 90^\circ - arctan(x)$

Пример: Найти $arccot(1)$ в градусах.

1. Вычислите $arctan(1)$. Результат будет `45`.
2. Вычтите полученное значение из 90: $90 - 45 = 45$.

Ответ: Для вычисления аркфункций на микрокалькуляторе необходимо выбрать режим (градусы/радианы), ввести число и использовать кнопки $sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$ (часто через `SHIFT` или `2nd`). Арккотангенс вычисляется по формуле через арктангенс.

С помощью программы «Калькулятор» на компьютере

Стандартный калькулятор в операционных системах (например, Windows) имеет научный (инженерный) режим, который поддерживает аркфункции.

1. Откройте калькулятор и переключите режим. Запустите программу «Калькулятор». В меню (обычно значок "бургер" ☰) выберите вид «Научный» или «Инженерный».
2. Выберите единицы измерения углов. В верхней части окна калькулятора найдите переключатель единиц и выберите «Градусы» (DEG) или «Радианы» (RAD).
3. Вычисление арксинуса, арккосинуса, арктангенса.
   • Откройте выпадающее меню «Тригонометрия».
   • Нажмите кнопку «2nd». Кнопки `sin`, `cos`, `tan` изменятся на $sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$.
   • Введите число, а затем нажмите на нужную аркфункцию.

Пример: Найти $arccos(-0.5)$ в радианах.

1. Включите режим «Научный».
2. Выберите «Радианы» (RAD).
3. Введите `-0.5`.
4. В меню «Тригонометрия» нажмите «2nd», а затем $cos^{-1}$.
5. Результат будет примерно `2.094395...`, что соответствует $2\pi/3$.

Вычисление арккотангенса

Как и в случае с микрокалькулятором, используйте формулу $arccot(x) = \frac{\pi}{2} - arctan(x)$ для радиан или $arccot(x) = 90^\circ - arctan(x)$ для градусов.

Ответ: В программе «Калькулятор» нужно перейти в научный режим, выбрать единицы измерения, нажать кнопку `2nd` (или `Inv`) и затем выбрать нужную функцию ($sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$). Арккотангенс вычисляется по формуле через арктангенс.

С помощью стандартных функций языка программирования

В большинстве языков программирования есть стандартная математическая библиотека, содержащая тригонометрические функции. Рассмотрим на примере языка Python.

Сначала необходимо импортировать математический модуль:

import math

Все тригонометрические функции в модуле `math` по умолчанию работают с радианами.

• Арксинус: `math.asin(x)`
• Арккосинус: `math.acos(x)`
• Арктангенс: `math.atan(x)`

Вычисление арккотангенса

Стандартной функции для арккотангенса обычно нет. Его вычисляют по формуле: `math.pi / 2 - math.atan(x)`.

Пример кода на Python:

import math# Значение, для которого ищем аркфункцииx = 0.5# Вычисление аркфункций в радианахarcsin_rad = math.asin(x)arccos_rad = math.acos(x)arctan_rad = math.atan(x)arccot_rad = math.pi / 2 - math.atan(x)print(f"Для x = {x}:")print(f" arcsin = {arcsin_rad:.4f} радиан")print(f" arccos = {arccos_rad:.4f} радиан")print(f" arctan = {arctan_rad:.4f} радиан")print(f" arccot = {arccot_rad:.4f} радиан")# Для перевода в градусы можно использовать math.degrees()arcsin_deg = math.degrees(arcsin_rad)print(f"\nРезультат для arcsin в градусах: {arcsin_deg:.2f}°") 

Результат вычисления `math.asin(0.5)` в градусах будет `30.00`, что соответствует известному значению $arcsin(0.5) = 30^\circ$.

Ответ: В языках программирования используются функции из математических библиотек (например, `asin()`, `acos()`, `atan()` в Python), которые возвращают результат в радианах. Арккотангенс вычисляется по формуле через арктангенс.