Номер 5.5, страница 426 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.5.* Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке, и известны все критические точки этой функции.

1) Запишите алгоритм, который выдаёт все промежутки возрастания и убывания этой функции.

2) Можно ли на основании приведённых исходных данных определить, являются ли критические точки точками максимума, минимума, разрыва? Приведите примеры.

1) Запишите алгоритм, который выдаёт все промежутки возрастания и убывания этой функции.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x)$, имея подпрограмму для её вычисления в любой точке и зная все её критические точки, можно использовать следующий алгоритм. Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых производная функции сохраняет свой знак, а значит, функция является монотонной (либо возрастает, либо убывает).

1. Подготовка списка точек. Пусть нам дан список всех критических точек $C = \{c_1, c_2, \dots, c_n\}$. Необходимо отсортировать эти точки в порядке возрастания: $c_1 < c_2 < \dots < c_n$.
2. Формирование интервалов. Отсортированные критические точки разбивают всю числовую ось на $n+1$ открытых интервалов: $(-\infty, c_1), (c_1, c_2), \dots, (c_{n-1}, c_n), (c_n, +\infty)$.
3. Анализ каждого интервала. Для каждого полученного интервала $(a, b)$ нужно определить характер монотонности функции. Для этого:
   • Выберем две любые тестовые точки $x_1$ и $x_2$ внутри этого интервала, так чтобы $a < x_1 < x_2 < b$. Например, для интервала $(c_i, c_{i+1})$ можно взять $x_1 = c_i + \frac{c_{i+1}-c_i}{3}$ и $x_2 = c_i + \frac{2(c_{i+1}-c_i)}{3}$. Для крайних интервалов, например $(c_n, +\infty)$, можно взять $x_1 = c_n + 1$ и $x_2 = c_n + 2$.
   • С помощью имеющейся подпрограммы вычислим значения функции в этих точках: $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.
   • Сравним полученные значения:
     • Если $y_1 < y_2$, то функция $f(x)$ на интервале $(a, b)$ возрастает.
     • Если $y_1 > y_2$, то функция $f(x)$ на интервале $(a, b)$ убывает.
     • Если $y_1 = y_2$, то функция может быть постоянной на этом интервале. Для уточнения можно взять дополнительные точки, но в большинстве случаев, если критические точки найдены верно, такого не произойдет.
4. Формирование результата. После проверки всех интервалов составляются два списка: один с промежутками возрастания, другой — с промежутками убывания.

Ответ: Алгоритм состоит в сортировке критических точек, формировании интервалов между ними, и определении знака изменения функции на каждом интервале путем сравнения значений функции в двух тестовых точках внутри этого интервала.

2) Можно ли на основании приведённых исходных данных определить, являются ли критические точки точками максимума, минимума, разрыва? Приведите примеры.

Да, на основании приведённых исходных данных (подпрограммы вычисления $f(x)$ и списка всех критических точек) можно определить, являются ли критические точки точками локального максимума, локального минимума или точками разрыва.

Для этого необходимо для каждой критической точки $c$ совместить два вида анализа: анализ смены монотонности функции в окрестности точки (который проводится с помощью результатов из пункта 1) и анализ на непрерывность в самой точке (который проводится с помощью подпрограммы).

Алгоритм классификации критической точки $c$:

1. Анализ смены монотонности. Определяем, как ведет себя функция на интервалах слева и справа от точки $c$.
   • Если функция возрастает слева от $c$ и убывает справа, то $c$ — кандидат в точки максимума.
   • Если функция убывает слева от $c$ и возрастает справа, то $c$ — кандидат в точки минимума.
   • Если монотонность функции не меняется (например, возрастает и слева, и справа), то $c$ не является точкой экстремума. Это может быть, например, точка перегиба с горизонтальной касательной.
2. Проверка на непрерывность и уточнение типа точки. Используем подпрограмму для вычисления $f(c)$ и значений функции в точках, очень близких к $c$, например $f(c-\epsilon)$ и $f(c+\epsilon)$ для малого $\epsilon > 0$.
   • Непрерывность: Если $f(c-\epsilon) \approx f(c)$ и $f(c+\epsilon) \approx f(c)$, то функция в точке $c$ непрерывна. В этом случае, если $c$ была кандидатом в точки экстремума, она им и является (максимумом или минимумом соответственно).
   • Разрыв: Если хотя бы одно из приближенных равенств выше не выполняется, то в точке $c$ — разрыв. Даже в случае разрыва точка может быть экстремумом. Нужно сравнить $f(c)$ со значениями функции в её близкой окрестности. Если $f(c) \ge f(x)$ для всех $x$ в окрестности $c$, это локальный максимум. Если $f(c) \le f(x)$, это локальный минимум.

Примеры:

• Точка максимума: Функция $f(x) = -x^2$. Критическая точка $c=0$. Слева от 0 функция возрастает, справа — убывает. В точке $c=0$ функция непрерывна. Значит, $c=0$ — точка максимума.
• Точка минимума: Функция $f(x) = |x|$. Критическая точка $c=0$ (производная не существует). Слева от 0 функция убывает, справа — возрастает. В точке $c=0$ функция непрерывна. Значит, $c=0$ — точка минимума.
• Не является экстремумом: Функция $f(x) = x^3$. Критическая точка $c=0$. Функция возрастает как слева, так и справа от 0. Монотонность не меняется. Значит, $c=0$ — не точка экстремума (это точка перегиба).
• Точка разрыва, не являющаяся экстремумом: Функция $f(x) = \begin{cases} x+2, & x > 0 \\ x-2, & x \le 0 \end{cases}$. Критическая точка $c=0$ (производная не существует). Слева и справа от 0 функция возрастает. В самой точке $c=0$ происходит скачок (разрыв первого рода): $\lim_{x\to0^-}f(x)=-2$, $\lim_{x\to0^+}f(x)=2$. Это точка разрыва, но не экстремум.
• Точка разрыва, являющаяся точкой минимума: Функция $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$. Критическая точка $c=0$. Слева от 0 функция убывает, справа — возрастает (кандидат в минимумы). Проверяем точку: $f(0)=0$. В любой окрестности нуля $f(x) = x^2+1 > 1$. Так как $f(0) < f(x)$ для всех $x \ne 0$ в окрестности, $c=0$ является точкой локального минимума и одновременно точкой (устранимого) разрыва.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно проанализировать смену монотонности функции в окрестности критической точки и проверить функцию на непрерывность в этой точке, используя подпрограмму для вычисления её значений.