Номер 4.1, страница 425 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.1. Запишите общие алгоритмы для решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида $\sin(x) = a$, $\cos(x) = a$, $\tan(x) = a$, $\cot(x) = a$. Алгоритм их решения заключается в проверке условий существования корней и применении общих формул.

Для уравнения $\sin(x) = a$:

1. Проверить условие существования решений: $|a| \le 1$. Если это условие не выполняется ($|a| > 1$), то уравнение корней не имеет.
2. Если $|a| \le 1$, то решения находятся по общей формуле: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. Полезно помнить решения для частных случаев:
   • при $a=0, \sin(x) = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
   • при $a=1, \sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
   • при $a=-1, \sin(x) = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для уравнения $\cos(x) = a$:

1. Проверить условие существования решений: $|a| \le 1$. Если $|a| > 1$, корней нет.
2. Если $|a| \le 1$, то решения находятся по общей формуле: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. Частные случаи:
   • при $a=0, \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
   • при $a=1, \cos(x) = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
   • при $a=-1, \cos(x) = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для уравнения $\tan(x) = a$:

Уравнение имеет решения при любом действительном $a$. Общая формула: $x = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для уравнения $\cot(x) = a$:

Уравнение имеет решения при любом действительном $a$. Общая формула: $x = \text{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения состоит в проверке области допустимых значений для $a$ и последующем применении соответствующей общей формулы решения.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшие тригонометрические неравенства (вида $\sin(x) > a$, $\cos(x) \le a$ и т.д.) удобнее всего решать с помощью единичной тригонометрической окружности.

Общий алгоритм:

1. Изобразить на координатной плоскости единичную окружность.
2. На соответствующей оси ($Oy$ для синуса, $Ox$ для косинуса) отметить значение $a$ и провести перпендикулярную ей прямую ($y=a$ или $x=a$).
3. Найти точки пересечения прямой с окружностью. Эти точки соответствуют решениям уравнения (например, $f(x)=a$). Обозначить соответствующие им углы, например, $t_1$ и $t_2$.
4. Выделить на окружности дугу, точки которой удовлетворяют неравенству (например, для $\sin(x) > a$ — дуга над прямой $y=a$).
5. Записать числовой промежуток, соответствующий этой дуге, двигаясь против часовой стрелки от начальной точки дуги к конечной.
6. К границам полученного промежутка прибавить период функции ($2\pi k$ для $\sin$ и $\cos$, $\pi k$ для $\tan$ и $\cot$, где $k \in \mathbb{Z}$), чтобы получить общее решение.

Итоговые формулы (для $|a| < 1$):

• $\sin(x) > a \implies \arcsin(a) + 2\pi k < x < \pi - \arcsin(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\sin(x) < a \implies -\pi - \arcsin(a) + 2\pi k < x < \arcsin(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\cos(x) > a \implies -\arccos(a) + 2\pi k < x < \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\cos(x) < a \implies \arccos(a) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\tan(x) > a \implies \arctan(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\tan(x) < a \implies -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\cot(x) > a \implies \pi k < x < \text{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\cot(x) < a \implies \text{arccot}(a) + \pi k < x < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Примечание: Для нестрогих неравенств ($\le, \ge$) знаки в ответе также будут нестрогими. При $|a| \ge 1$ для синуса и косинуса решение становится тривиальным (либо все $x \in \mathbb{R}$, либо пустое множество, либо отдельные точки).

Ответ: Алгоритм решения простейшего тригонометрического неравенства основан на анализе единичной окружности, что позволяет наглядно определить интервалы-решения, которые затем обобщаются путем добавления периода функции.