Номер 5.4, страница 425 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.4. Найдите в Интернете информацию о численных методах дифференцирования.

Численное дифференцирование — это совокупность методов для вычисления приближенного значения производной функции, основанных на ее значениях в дискретном наборе точек. Эти методы применяются, когда:

• Аналитическое выражение для функции неизвестно, и она задана таблично (например, по результатам эксперимента).
• Аналитическое выражение для функции слишком сложное для дифференцирования.
• Требуется найти производную в рамках численного решения дифференциальных уравнений.

В основе большинства методов лежит замена определения производной через предел ($f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$) на формулу с конечным, малым приращением аргумента $h$, называемым шагом. Наиболее распространенной группой методов являются методы конечных разностей, которые выводятся из разложения функции в ряд Тейлора.

К простейшим методам относятся правая (или прямая) разность, использующая формулу $f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, и левая (или обратная) разность с формулой $f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h}$. Оба этих метода имеют первый порядок точности, то есть их погрешность пропорциональна шагу $h$ (записывается как $O(h)$). Это означает, что при уменьшении шага вдвое погрешность также уменьшается примерно вдвое.

Более точным является метод центральной разности, который использует значения функции симметрично относительно точки $x$. Его формула для первой производной: $f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$. Этот метод имеет второй порядок точности ($O(h^2)$), что делает его значительно эффективнее: при уменьшении шага $h$ в 2 раза погрешность уменьшается уже в 4 раза. Поэтому центральная разность является предпочтительной в большинстве приложений.

Методы конечных разностей можно обобщить и для нахождения производных высших порядков. Например, формула центральной разности для второй производной выглядит так: $f''(x) \approx \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$. Эта формула также имеет порядок точности $O(h^2)$.

Несмотря на простоту, численное дифференцирование сопряжено с серьезными трудностями. Главными проблемами являются:

1. Выбор шага $h$. Существует компромисс: слишком большой шаг $h$ ведет к большой погрешности метода (усечения), а слишком маленький — к катастрофическому росту погрешности округления из-за ограничений машинной арифметики (вычитание близких чисел с последующим делением на малое число). Поэтому существует оптимальное значение $h$, минимизирующее суммарную ошибку.
2. Неустойчивость. Численное дифференцирование является некорректно поставленной задачей. Это означает, что малые погрешности или "шум" во входных данных (значениях функции) могут приводить к очень большим ошибкам в итоговом значении производной. Это делает метод чувствительным к качеству данных, особенно экспериментальных.

Ответ: Численное дифференцирование — это набор методов для приближенного вычисления производной функции, основанных на замене предела в ее определении конечными разностями. Наиболее распространены методы правой, левой и центральной разностей, которые аппроксимируют производную, используя значения функции в соседних точках. Метод центральной разности ($f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$) является более точным ($O(h^2)$). Основными проблемами являются выбор оптимального шага $h$ для баланса между погрешностью метода и погрешностью округления, а также неустойчивость к ошибкам во входных данных.