Номер 5.2, страница 425 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.2.! Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке. Можно ли с помощью этой подпрограммы определить, является ли функция непрерывной на некотором промежутке?

Нет, с помощью такой подпрограммы невозможно со 100% уверенностью определить, является ли функция непрерывной на некотором промежутке. Это связано с фундаментальными ограничениями как математического анализа, так и вычислительной техники.

1. Бесконечность точек на промежутке
Любой числовой промежуток (например, отрезок $[a, b]$) содержит бесконечное множество точек. Программа, работающая конечное время, может вычислить значение функции лишь в конечном наборе точек. Между любыми двумя точками, в которых мы проверили значение функции, всегда найдется бесконечное множество других точек, где поведение функции нам неизвестно.

Математическое определение непрерывности функции $f(x)$ в точке $c$ (определение Коши) гласит:
Для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ найдется такое положительное число $\delta$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $|x - c| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(c)| < \varepsilon$.
Формально:
$\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \forall x \ (|x - c| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(c)| < \varepsilon)$
Алгоритмически невозможно проверить это условие для всех $\varepsilon$ и для всех $x$ из $\delta$-окрестности точки $c$, так как их бесконечно много.

2. Пример с «неуловимым» разрывом
Рассмотрим функцию, которая разрывна только в одной точке, причем эта точка является иррациональным числом. Например, на отрезке $[0, 4]$:
$f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \neq \pi \\ 1, & \text{если } x = \pi \end{cases}$
Эта функция имеет разрыв в точке $x = \pi$. Однако, чтобы программа обнаружила этот разрыв, она должна была бы вызвать подпрограмму с аргументом, в точности равным $\pi$. Поскольку число $\pi$ иррациональное, оно имеет бесконечную непериодическую десятичную дробь. В памяти компьютера оно всегда будет представлено с некоторой конечной точностью (например, как число типа `double`). Таким образом, программа никогда не сможет передать в подпрограмму точное значение $\pi$.
Проверяя любые точки, представленные в виде чисел с плавающей запятой, программа всегда будет получать в качестве результата 0. На основании этого она сделает неверный вывод, что функция непрерывна на всем промежутке.

Что можно сделать на практике?
На практике можно лишь провести эвристическую проверку, которая не дает гарантии, но позволяет с высокой степенью уверенности судить о непрерывности. Для этого можно:

• Вычислить значения функции в большом количестве точек на промежутке, расположенных с малым шагом.
• Проверить, что разница значений функции в соседних точках $|f(x_{i+1}) - f(x_i)|$ не превышает некоторого малого порога.

Если это условие выполняется, можно предположить, что функция непрерывна. Однако это не является строгим доказательством и может пропустить очень "узкие" и резкие разрывы, которые попадают между точками проверки.

Ответ: Нет, строго определить, является ли функция непрерывной на некотором промежутке, с помощью подпрограммы, вычисляющей ее значение в точке, невозможно. Любой алгоритм сможет проверить лишь конечное число точек и на основании этого сделать только вероятностное предположение, но не дать гарантированного ответа, так как разрыв может существовать в любой из бесконечного числа непроверенных точек.