Номер 5.6, страница 426 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.6.* Функция задана формулой. Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение этой функции в любой точке. Каким образом построить график этой функции на некотором промежутке на экране компьютера? Какие факторы могут привести к тому, что график будет некорректно отображать поведение функции? Как следует учесть их в программе построения графиков «по точкам»?

Каким образом построить график этой функции на некотором промежутке на экране компьютера?

Построение графика функции $y=f(x)$ на заданном промежутке $[a, b]$ на экране компьютера выполняется методом дискретизации. Этот процесс можно разбить на следующие шаги:

1. Выбор шага дискретизации. Промежуток $[a, b]$ разбивается на $N$ малых отрезков. Чем больше $N$, тем точнее будет график. Шаг по оси абсцисс вычисляется как $h = (b-a)/N$. Таким образом, мы получаем набор точек $x_i = a + i \cdot h$ для $i = 0, 1, 2, ..., N$.

2. Вычисление значений функции. Для каждой точки $x_i$ из полученного набора с помощью предоставленной подпрограммы вычисляется соответствующее значение функции $y_i = f(x_i)$. В результате мы получаем массив пар координат $(x_i, y_i)$.

3. Масштабирование и преобразование координат. Полученные математические координаты $(x_i, y_i)$ необходимо преобразовать в экранные координаты (пиксели). Для этого определяется диапазон значений по оси $Y$, $ [y_{min}, y_{max}] $, и выполняется масштабирование. Если ширина экрана $W$, а высота $H$, то преобразование может выглядеть так:

   $screen\_x_i = (x_i - a) / (b-a) \cdot W$

   $screen\_y_i = H - (y_i - y_{min}) / (y_{max}-y_{min}) \cdot H$

   (Вычитание из $H$ необходимо, так как в большинстве графических систем ось Y направлена вниз).

4. Отрисовка. Полученные экранные точки последовательно соединяются отрезками прямых. То есть, для каждого $i$ от $0$ до $N-1$ рисуется отрезок между точками $(screen\_x_i, screen\_y_i)$ и $(screen\_x_{i+1}, screen\_y_{i+1})$.

Ответ: Для построения графика функции на промежутке $[a, b]$ необходимо разбить этот промежуток на большое количество точек $x_i$, вычислить для каждой из них значение функции $y_i=f(x_i)$, преобразовать полученные пары $(x_i, y_i)$ в экранные координаты и последовательно соединить их отрезками.

Какие факторы могут привести к тому, что график будет некорректно отображать поведение функции?

Существует несколько ключевых факторов, которые могут исказить реальное поведение функции при построении графика по точкам:

• Слишком большой шаг дискретизации ($h$). Если шаг слишком велик, можно пропустить важные особенности графика: локальные экстремумы (пики и впадины), быстрые колебания (например, для функции $f(x) = \sin(100x)$), точки перегиба. График может выглядеть сглаженным или даже полностью исказить характер функции (алиасинг).

• Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Если на интервале $[x_i, x_{i+1}]$ находится точка разрыва (например, у функции $f(x) = 1/x$ в точке $x=0$), программа попытается соединить две точки, значения $y$ в которых могут быть очень большими по модулю и разными по знаку. В результате на графике появится почти вертикальная линия (ложная асимптота), которая не является частью самого графика.

• Ограниченная точность вычислений. Компьютеры работают с числами с плавающей запятой, что вносит погрешности. Вблизи "неудобных" точек (например, при вычитании близких по значению больших чисел) ошибка может стать значительной и привести к "шуму" или искажениям на графике.

• Неудачный выбор масштаба по оси Y. Если функция имеет очень большой разброс значений (например, один очень высокий пик, а остальные значения близки к нулю), автоматический выбор масштаба может "сплющить" все интересные низкоамплитудные детали в одну горизонтальную линию.

Ответ: Некорректное отображение могут вызвать: слишком большой шаг дискретизации, наличие точек разрыва и асимптот, ошибки машинных вычислений и неправильно подобранный масштаб отображения.

Как следует учесть их в программе построения графиков «по точкам»?

Чтобы минимизировать влияние этих факторов, программу можно усложнить следующими способами:

• Адаптивный шаг дискретизации. Вместо фиксированного шага $h$ использовать алгоритм, который уменьшает шаг в тех областях, где функция быстро меняется. Простой критерий: если угол наклона отрезка между точками $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ велик или если значение функции в средней точке $f((x_i+x_{i+1})/2)$ сильно отклоняется от прямой, соединяющей эти точки, то интервал $[x_i, x_{i+1}]$ нужно разбить на более мелкие части и провести вычисления для них.

• Обработка разрывов и асимптот. Программа должна анализировать значения $y_i$. Если разница $|y_{i+1} - y_i|$ превышает некоторый большой порог (например, высоту видимой области графика), то отрезок между этими точками рисовать не нужно. Также следует обрабатывать ошибки вычисления функции (например, деление на ноль) — в таких точках график должен прерываться.

• Использование более точных типов данных и численных методов. Для уменьшения вычислительных погрешностей можно использовать типы данных с двойной точностью (double) или выше. Для некоторых функций вблизи проблемных точек целесообразно использовать их разложение в ряд Тейлора или другие аналитические преобразования для более стабильного вычисления.

• Гибкое управление масштабом. Предоставить пользователю возможность вручную задавать видимый диапазон по оси Y. Также можно реализовать алгоритмы, которые отсекают редкие выбросы при автоматическом масштабировании, или использовать логарифмическую шкалу для функций, значения которых меняются на несколько порядков.

Ответ: Для корректного построения следует использовать адаптивный шаг, обнаруживать и обрабатывать точки разрыва (не соединяя их линией), применять более точные вычисления и предоставлять гибкие настройки масштабирования графика.