Страница 426 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.5.* Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке, и известны все критические точки этой функции.

1) Запишите алгоритм, который выдаёт все промежутки возрастания и убывания этой функции.

2) Можно ли на основании приведённых исходных данных определить, являются ли критические точки точками максимума, минимума, разрыва? Приведите примеры.

1) Запишите алгоритм, который выдаёт все промежутки возрастания и убывания этой функции.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x)$, имея подпрограмму для её вычисления в любой точке и зная все её критические точки, можно использовать следующий алгоритм. Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых производная функции сохраняет свой знак, а значит, функция является монотонной (либо возрастает, либо убывает).

1. Подготовка списка точек. Пусть нам дан список всех критических точек $C = \{c_1, c_2, \dots, c_n\}$. Необходимо отсортировать эти точки в порядке возрастания: $c_1 < c_2 < \dots < c_n$.
2. Формирование интервалов. Отсортированные критические точки разбивают всю числовую ось на $n+1$ открытых интервалов: $(-\infty, c_1), (c_1, c_2), \dots, (c_{n-1}, c_n), (c_n, +\infty)$.
3. Анализ каждого интервала. Для каждого полученного интервала $(a, b)$ нужно определить характер монотонности функции. Для этого:
   • Выберем две любые тестовые точки $x_1$ и $x_2$ внутри этого интервала, так чтобы $a < x_1 < x_2 < b$. Например, для интервала $(c_i, c_{i+1})$ можно взять $x_1 = c_i + \frac{c_{i+1}-c_i}{3}$ и $x_2 = c_i + \frac{2(c_{i+1}-c_i)}{3}$. Для крайних интервалов, например $(c_n, +\infty)$, можно взять $x_1 = c_n + 1$ и $x_2 = c_n + 2$.
   • С помощью имеющейся подпрограммы вычислим значения функции в этих точках: $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.
   • Сравним полученные значения:
     • Если $y_1 < y_2$, то функция $f(x)$ на интервале $(a, b)$ возрастает.
     • Если $y_1 > y_2$, то функция $f(x)$ на интервале $(a, b)$ убывает.
     • Если $y_1 = y_2$, то функция может быть постоянной на этом интервале. Для уточнения можно взять дополнительные точки, но в большинстве случаев, если критические точки найдены верно, такого не произойдет.
4. Формирование результата. После проверки всех интервалов составляются два списка: один с промежутками возрастания, другой — с промежутками убывания.

Ответ: Алгоритм состоит в сортировке критических точек, формировании интервалов между ними, и определении знака изменения функции на каждом интервале путем сравнения значений функции в двух тестовых точках внутри этого интервала.

2) Можно ли на основании приведённых исходных данных определить, являются ли критические точки точками максимума, минимума, разрыва? Приведите примеры.

Да, на основании приведённых исходных данных (подпрограммы вычисления $f(x)$ и списка всех критических точек) можно определить, являются ли критические точки точками локального максимума, локального минимума или точками разрыва.

Для этого необходимо для каждой критической точки $c$ совместить два вида анализа: анализ смены монотонности функции в окрестности точки (который проводится с помощью результатов из пункта 1) и анализ на непрерывность в самой точке (который проводится с помощью подпрограммы).

Алгоритм классификации критической точки $c$:

1. Анализ смены монотонности. Определяем, как ведет себя функция на интервалах слева и справа от точки $c$.
   • Если функция возрастает слева от $c$ и убывает справа, то $c$ — кандидат в точки максимума.
   • Если функция убывает слева от $c$ и возрастает справа, то $c$ — кандидат в точки минимума.
   • Если монотонность функции не меняется (например, возрастает и слева, и справа), то $c$ не является точкой экстремума. Это может быть, например, точка перегиба с горизонтальной касательной.
2. Проверка на непрерывность и уточнение типа точки. Используем подпрограмму для вычисления $f(c)$ и значений функции в точках, очень близких к $c$, например $f(c-\epsilon)$ и $f(c+\epsilon)$ для малого $\epsilon > 0$.
   • Непрерывность: Если $f(c-\epsilon) \approx f(c)$ и $f(c+\epsilon) \approx f(c)$, то функция в точке $c$ непрерывна. В этом случае, если $c$ была кандидатом в точки экстремума, она им и является (максимумом или минимумом соответственно).
   • Разрыв: Если хотя бы одно из приближенных равенств выше не выполняется, то в точке $c$ — разрыв. Даже в случае разрыва точка может быть экстремумом. Нужно сравнить $f(c)$ со значениями функции в её близкой окрестности. Если $f(c) \ge f(x)$ для всех $x$ в окрестности $c$, это локальный максимум. Если $f(c) \le f(x)$, это локальный минимум.

Примеры:

• Точка максимума: Функция $f(x) = -x^2$. Критическая точка $c=0$. Слева от 0 функция возрастает, справа — убывает. В точке $c=0$ функция непрерывна. Значит, $c=0$ — точка максимума.
• Точка минимума: Функция $f(x) = |x|$. Критическая точка $c=0$ (производная не существует). Слева от 0 функция убывает, справа — возрастает. В точке $c=0$ функция непрерывна. Значит, $c=0$ — точка минимума.
• Не является экстремумом: Функция $f(x) = x^3$. Критическая точка $c=0$. Функция возрастает как слева, так и справа от 0. Монотонность не меняется. Значит, $c=0$ — не точка экстремума (это точка перегиба).
• Точка разрыва, не являющаяся экстремумом: Функция $f(x) = \begin{cases} x+2, & x > 0 \\ x-2, & x \le 0 \end{cases}$. Критическая точка $c=0$ (производная не существует). Слева и справа от 0 функция возрастает. В самой точке $c=0$ происходит скачок (разрыв первого рода): $\lim_{x\to0^-}f(x)=-2$, $\lim_{x\to0^+}f(x)=2$. Это точка разрыва, но не экстремум.
• Точка разрыва, являющаяся точкой минимума: Функция $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$. Критическая точка $c=0$. Слева от 0 функция убывает, справа — возрастает (кандидат в минимумы). Проверяем точку: $f(0)=0$. В любой окрестности нуля $f(x) = x^2+1 > 1$. Так как $f(0) < f(x)$ для всех $x \ne 0$ в окрестности, $c=0$ является точкой локального минимума и одновременно точкой (устранимого) разрыва.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно проанализировать смену монотонности функции в окрестности критической точки и проверить функцию на непрерывность в этой точке, используя подпрограмму для вычисления её значений.

5.6.* Функция задана формулой. Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение этой функции в любой точке. Каким образом построить график этой функции на некотором промежутке на экране компьютера? Какие факторы могут привести к тому, что график будет некорректно отображать поведение функции? Как следует учесть их в программе построения графиков «по точкам»?

Каким образом построить график этой функции на некотором промежутке на экране компьютера?

Построение графика функции $y=f(x)$ на заданном промежутке $[a, b]$ на экране компьютера выполняется методом дискретизации. Этот процесс можно разбить на следующие шаги:

1. Выбор шага дискретизации. Промежуток $[a, b]$ разбивается на $N$ малых отрезков. Чем больше $N$, тем точнее будет график. Шаг по оси абсцисс вычисляется как $h = (b-a)/N$. Таким образом, мы получаем набор точек $x_i = a + i \cdot h$ для $i = 0, 1, 2, ..., N$.

2. Вычисление значений функции. Для каждой точки $x_i$ из полученного набора с помощью предоставленной подпрограммы вычисляется соответствующее значение функции $y_i = f(x_i)$. В результате мы получаем массив пар координат $(x_i, y_i)$.

3. Масштабирование и преобразование координат. Полученные математические координаты $(x_i, y_i)$ необходимо преобразовать в экранные координаты (пиксели). Для этого определяется диапазон значений по оси $Y$, $ [y_{min}, y_{max}] $, и выполняется масштабирование. Если ширина экрана $W$, а высота $H$, то преобразование может выглядеть так:

   $screen\_x_i = (x_i - a) / (b-a) \cdot W$

   $screen\_y_i = H - (y_i - y_{min}) / (y_{max}-y_{min}) \cdot H$

   (Вычитание из $H$ необходимо, так как в большинстве графических систем ось Y направлена вниз).

4. Отрисовка. Полученные экранные точки последовательно соединяются отрезками прямых. То есть, для каждого $i$ от $0$ до $N-1$ рисуется отрезок между точками $(screen\_x_i, screen\_y_i)$ и $(screen\_x_{i+1}, screen\_y_{i+1})$.

Ответ: Для построения графика функции на промежутке $[a, b]$ необходимо разбить этот промежуток на большое количество точек $x_i$, вычислить для каждой из них значение функции $y_i=f(x_i)$, преобразовать полученные пары $(x_i, y_i)$ в экранные координаты и последовательно соединить их отрезками.

Какие факторы могут привести к тому, что график будет некорректно отображать поведение функции?

Существует несколько ключевых факторов, которые могут исказить реальное поведение функции при построении графика по точкам:

• Слишком большой шаг дискретизации ($h$). Если шаг слишком велик, можно пропустить важные особенности графика: локальные экстремумы (пики и впадины), быстрые колебания (например, для функции $f(x) = \sin(100x)$), точки перегиба. График может выглядеть сглаженным или даже полностью исказить характер функции (алиасинг).

• Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Если на интервале $[x_i, x_{i+1}]$ находится точка разрыва (например, у функции $f(x) = 1/x$ в точке $x=0$), программа попытается соединить две точки, значения $y$ в которых могут быть очень большими по модулю и разными по знаку. В результате на графике появится почти вертикальная линия (ложная асимптота), которая не является частью самого графика.

• Ограниченная точность вычислений. Компьютеры работают с числами с плавающей запятой, что вносит погрешности. Вблизи "неудобных" точек (например, при вычитании близких по значению больших чисел) ошибка может стать значительной и привести к "шуму" или искажениям на графике.

• Неудачный выбор масштаба по оси Y. Если функция имеет очень большой разброс значений (например, один очень высокий пик, а остальные значения близки к нулю), автоматический выбор масштаба может "сплющить" все интересные низкоамплитудные детали в одну горизонтальную линию.

Ответ: Некорректное отображение могут вызвать: слишком большой шаг дискретизации, наличие точек разрыва и асимптот, ошибки машинных вычислений и неправильно подобранный масштаб отображения.

Как следует учесть их в программе построения графиков «по точкам»?

Чтобы минимизировать влияние этих факторов, программу можно усложнить следующими способами:

• Адаптивный шаг дискретизации. Вместо фиксированного шага $h$ использовать алгоритм, который уменьшает шаг в тех областях, где функция быстро меняется. Простой критерий: если угол наклона отрезка между точками $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ велик или если значение функции в средней точке $f((x_i+x_{i+1})/2)$ сильно отклоняется от прямой, соединяющей эти точки, то интервал $[x_i, x_{i+1}]$ нужно разбить на более мелкие части и провести вычисления для них.

• Обработка разрывов и асимптот. Программа должна анализировать значения $y_i$. Если разница $|y_{i+1} - y_i|$ превышает некоторый большой порог (например, высоту видимой области графика), то отрезок между этими точками рисовать не нужно. Также следует обрабатывать ошибки вычисления функции (например, деление на ноль) — в таких точках график должен прерываться.

• Использование более точных типов данных и численных методов. Для уменьшения вычислительных погрешностей можно использовать типы данных с двойной точностью (double) или выше. Для некоторых функций вблизи проблемных точек целесообразно использовать их разложение в ряд Тейлора или другие аналитические преобразования для более стабильного вычисления.

• Гибкое управление масштабом. Предоставить пользователю возможность вручную задавать видимый диапазон по оси Y. Также можно реализовать алгоритмы, которые отсекают редкие выбросы при автоматическом масштабировании, или использовать логарифмическую шкалу для функций, значения которых меняются на несколько порядков.

Ответ: Для корректного построения следует использовать адаптивный шаг, обнаруживать и обрабатывать точки разрыва (не соединяя их линией), применять более точные вычисления и предоставлять гибкие настройки масштабирования графика.