Страница 425 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.5. Задайте в табличном редакторе значения некоторой функции на отрезке длиной в период этой функции.

Какие инструменты табличного редактора следует применить, чтобы автоматически задать функцию на отрезке длиной в несколько периодов и построить график этой функции на этом отрезке? Пользуясь этими инструментами, составьте в табличном редакторе таблицу значений функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ и постройте их графики на одном и том же экране. Выполните это же задание для функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$.

Для того чтобы задать в табличном редакторе значения периодической функции и автоматически распространить их на несколько периодов, а затем построить график, необходимо использовать следующие инструменты:

• Формулы и относительные ссылки: Позволяют задать математическую зависимость. При копировании формулы, ссылки на ячейки автоматически смещаются, что позволяет вычислить значения функции для всего диапазона аргументов.
• Маркер автозаполнения: Маленький квадрат в углу выделенной ячейки, который при протягивании автоматически копирует содержимое или продолжает ряд данных. Это основной инструмент для "автоматического" задания функции.
• Встроенные функции: Табличные редакторы содержат большой набор математических функций, включая тригонометрические (`SIN`, `COS`, `TAN`) и константу `ПИ()` (или `PI()`). Важно помнить, что аргументы тригонометрических функций должны быть в радианах.
• Инструмент построения диаграмм: Находится в меню "Вставка" -> "Диаграмма". Для графиков функций лучше всего подходит тип "Точечная" (особенно "Точечная с гладкими кривыми").

Общий алгоритм таков: сначала создается столбец аргументов `$x$` с заданным шагом на всем отрезке, затем в соседнем столбце с помощью формулы вычисляется значение функции для первого аргумента, после чего эта формула копируется на весь столбец с помощью маркера автозаполнения. Наконец, на основе двух столбцов строится график.

Ответ: Для автоматического задания функции и построения графика на отрезке в несколько периодов следует использовать маркер автозаполнения для создания ряда аргументов и копирования формул, а также инструмент "Диаграмма" (тип "Точечная") для визуализации данных.

Период функций `$y=\sin x$` и `$y=\cos x$` равен `$2\pi$`. Для построения их графиков в табличном редакторе, например, на отрезке `$[ -2\pi; 2\pi ]$`, необходимо выполнить следующие действия:

1. Создать столбец для аргумента `$x$`. В первую ячейку (например, `A2`) ввести начальное значение `=-2*ПИ()`. В ячейку ниже (`A3`) ввести формулу `=A2+ПИ()/18` для создания шага (в данном случае, 10 градусов). Протянуть маркер автозаполнения ячейки `A3` вниз до получения значения `$2\pi$`.
2. В столбце `B`, начиная с ячейки `B2`, ввести формулу для синуса: `=SIN(A2)`.
3. В столбце `C`, начиная с ячейки `C2`, ввести формулу для косинуса: `=COS(A2)`.
4. Протянуть маркер автозаполнения для ячеек `B2` и `C2` вниз до конца столбца с аргументами `$x$`. Таблица значений будет создана автоматически.
5. Выделить все три столбца с данными (`A`, `B`, `C`) и с помощью инструмента "Вставка" -> "Диаграмма" построить график типа "Точечная с гладкими кривыми".

Ответ: Для построения графиков `$y = \sin x$` и `$y = \cos x$` необходимо создать таблицу с тремя столбцами (`$x$`, `$\sin x$`, `$\cos x$`), используя формулы `=SIN(A2)` и `=COS(A2)` и автозаполнение, а затем построить по этим данным точечную диаграмму.

Период функций `$y=\operatorname{tg} x$` и `$y=\operatorname{ctg} x$` равен `$\pi$`. Эти функции имеют точки разрыва (вертикальные асимптоты). Алгоритм их построения аналогичен, но с некоторыми особенностями:

1. Использовать ранее созданный столбец аргументов `$x$`.
2. В столбце `D`, начиная с ячейки `D2`, ввести формулу для тангенса: `=TAN(A2)`.
3. В столбце `E`, начиная с ячейки `E2`, ввести формулу для котангенса. Можно использовать функцию `=COT(A2)` (если она есть) или более универсальную формулу `=1/TAN(A2)`.
4. Протянуть маркер автозаполнения для ячеек `D2` и `E2` вниз. В точках, где функция не определена, в ячейках появятся ошибки (например, `#ДЕЛ/0!`).
5. Выделить столбцы `$x$`, `$\operatorname{tg} x$` и `$\operatorname{ctg} x$` (`A`, `D`, `E`) и построить диаграмму типа "Точечная с гладкими кривыми".

На полученном графике в местах асимптот появятся вертикальные линии, соединяющие разрывные части графика. Это является артефактом построения и не является частью самого графика функции.

Ответ: Для построения графиков `$y = \operatorname{tg} x$` и `$y = \operatorname{ctg} x$` используется тот же подход с формулами (`=TAN(A2)`, `=1/TAN(A2)`) и автозаполнением. При построении диаграммы следует учитывать, что программа некорректно отобразит поведение функций в точках разрыва, соединяя их ветви вертикальными линиями.

3.6.! С помощью табличного редактора проиллюстрируйте преобразования графиков функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$; придумайте для этого примеры, аналогичные примеру 3 § 21.

Для иллюстрации преобразований графиков тригонометрических функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ с помощью табличного редактора (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc) необходимо выполнить следующие шаги: создать таблицу значений для исходной и преобразованной функций, а затем на основе этой таблицы построить их графики на одной координатной плоскости.

Общий вид преобразованной тригонометрической функции: $y = A \cdot \sin(k(x - b)) + d$ или $y = A \cdot \cos(k(x - b)) + d$.

Рассмотрим каждый тип преобразования на конкретных примерах.

Рассмотрим функции $y = \cos(x)$ и $y = 2\cos(x)$. Коэффициент $A=2$ должен растянуть график функции вдоль оси OY в 2 раза.

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Создадим столбец для значений аргумента $x$. В ячейку A1 введем заголовок "x". В ячейку A2 введем начальное значение, например, с помощью формулы =-2*PI() (что соответствует $-2\pi$). В ячейку A3 введем формулу =A2+PI()/12 для получения следующего значения с шагом $\pi/12$. Протянем (скопируем) эту формулу вниз, чтобы заполнить диапазон значений, например, до $2\pi$.
2. В ячейку B1 введем название исходной функции: "cos(x)". В ячейку B2 введем формулу =COS(A2). Протянем формулу вниз на весь диапазон значений $x$.
3. В ячейку C1 введем название преобразованной функции: "2*cos(x)". В ячейку C2 введем формулу =2*COS(A2). Протянем формулу вниз.
4. Выделим все три столбца с данными (A, B, C) и на вкладке "Вставка" выберем тип диаграммы "Точечная с гладкими кривыми".

На полученном графике будет видно, что кривая для $y = 2\cos(x)$ имеет ту же форму и период, что и $y = \cos(x)$, но ее "размах" по вертикали в два раза больше: значения изменяются в диапазоне от -2 до 2, в то время как для исходной функции диапазон был от -1 до 1.

Ответ: Преобразование вида $y = A \cdot f(x)$ приводит к растяжению графика функции $y=f(x)$ от оси OX в $A$ раз при $|A| > 1$ и сжатию к оси OX в $1/A$ раз при $0 < |A| < 1$. Если $A<0$, график также отражается относительно оси OX.

Рассмотрим функции $y = \sin(x)$ и $y = \sin(2x)$. Коэффициент $k=2$ должен сжать график функции вдоль оси OX в 2 раза, то есть уменьшить период вдвое.

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Столбец A со значениями $x$ создаем аналогично предыдущему примеру, в диапазоне от $-2\pi$ до $2\pi$.
2. В ячейку B1 введем "sin(x)". В ячейку B2 введем формулу =SIN(A2) и протянем ее вниз.
3. В ячейку C1 введем "sin(2x)". В ячейку C2 введем формулу =SIN(2*A2) и протянем ее вниз.
4. Построим график "Точечная с гладкими кривыми" для данных из трех столбцов.

На графике будет видно, что функция $y = \sin(2x)$ совершает два полных колебания на отрезке $[0, 2\pi]$, в то время как исходная функция $y = \sin(x)$ — только одно. Период функции $y = \sin(2x)$ равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: Преобразование вида $y = f(kx)$ приводит к сжатию графика функции $y=f(x)$ к оси OY в $k$ раз при $|k| > 1$ и растяжению от оси OY в $1/k$ раз при $0 < |k| < 1$. Период функции изменяется по формуле $T_{new} = T_{old}/|k|$.

Рассмотрим функции $y = \sin(x)$ и $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Вычитание константы из аргумента функции означает сдвиг исходного графика вправо на эту константу.

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Столбец A со значениями $x$ создаем в диапазоне от $-2\pi$ до $2\pi$.
2. В ячейку B1 введем "sin(x)". В ячейку B2 введем формулу =SIN(A2) и протянем ее вниз.
3. В ячейку C1 введем "sin(x-pi/2)". В ячейку C2 введем формулу =SIN(A2-PI()/2) и протянем ее вниз.
4. Построим график для трех столбцов.

Полученный график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ будет полностью совпадать с графиком $y = \sin(x)$, но сдвинутым вправо по оси OX на величину $\frac{\pi}{2}$. (Этот график также совпадает с графиком функции $y = -\cos(x)$).

Ответ: Преобразование вида $y = f(x - b)$ сдвигает график функции $y=f(x)$ вдоль оси OX на $|b|$ единиц: вправо, если $b > 0$, и влево, если $b < 0$.

Рассмотрим функции $y = \cos(x)$ и $y = \cos(x) + 1$. Свободный член $d=1$ должен сдвинуть исходный график вверх на 1 единицу.

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Столбец A со значениями $x$ создаем в диапазоне от $-2\pi$ до $2\pi$.
2. В ячейку B1 введем "cos(x)". В ячейку B2 введем формулу =COS(A2) и протянем ее вниз.
3. В ячейку C1 введем "cos(x)+1". В ячейку C2 введем формулу =COS(A2)+1 и протянем ее вниз.
4. Построим график для трех столбцов.

На графике будет видно, что график функции $y = \cos(x)+1$ получен из графика $y = \cos(x)$ параллельным переносом вверх вдоль оси OY на 1 единицу. Ось колебаний сместилась с $y=0$ на $y=1$, а значения функции теперь лежат в диапазоне от 0 до 2.

Ответ: Преобразование вида $y = f(x) + d$ сдвигает график функции $y=f(x)$ вдоль оси OY на $|d|$ единиц: вверх, если $d > 0$, и вниз, если $d < 0$.

Рассмотрим более сложный пример: сравним графики $y = \sin(x)$ и $y = 3\sin(0.5x + \frac{\pi}{4}) - 1$.

Это преобразование включает в себя:

• Изменение амплитуды ($A=3$).
• Изменение периода (коэффициент $k=0.5$, период $T = 2\pi/0.5 = 4\pi$).
• Сдвиг по фазе (перепишем функцию: $y = 3\sin(0.5(x + \frac{\pi}{2})) - 1$, сдвиг влево на $\frac{\pi}{2}$).
• Вертикальный сдвиг ($d=-1$, сдвиг вниз на 1).

Порядок действий в табличном редакторе:

1. Для наглядности возьмем больший диапазон для $x$, например, от $-4\pi$ до $4\pi$.
2. Столбцы B и C заполним формулами: =SIN(A2) и =3*SIN(0.5*A2+PI()/4)-1 соответственно.
3. Построим график.

На графике будет наглядно видно совместное действие всех четырех преобразований: график растянут по вертикали, растянут по горизонтали, сдвинут влево и сдвинут вниз по сравнению с исходной синусоидой.

Ответ: Комбинированные преобразования графика выполняются последовательно, применяя каждое из базовых преобразований: изменение амплитуды, изменение периода, горизонтальный и вертикальный сдвиги.

3.7. Для всех ли тригонометрических функций есть своя кнопка на микрокалькуляторе; функция калькулятора из набора стандартных программ компьютера; отдельная стандартная функция в изучаемом вами языке программирования? Реализуйте вычисление недостающих функций с помощью имеющихся.

Основными тригонометрическими функциями являются синус ($\sin(x)$), косинус ($\cos(x)$), тангенс ($\tan(x)$), котангенс ($\cot(x)$), секанс ($\sec(x)$) и косеканс ($\csc(x)$). Проанализируем, для всех ли из них существуют готовые реализации в различных вычислительных средствах.

Своя кнопка на микрокалькуляторе

Нет, не для всех. Большинство инженерных (научных) микрокалькуляторов имеют отдельные кнопки только для трех основных функций: синуса (sin), косинуса (cos) и тангенса (tan). Такие функции, как котангенс, секанс и косеканс, как правило, отсутствуют. Их значения вычисляются с использованием основных тригонометрических тождеств.

Ответ: Нет, на микрокалькуляторах обычно есть кнопки только для синуса, косинуса и тангенса.

Функция калькулятора из набора стандартных программ компьютера

Нет, не для всех. Стандартное приложение "Калькулятор", входящее в состав операционных систем (например, Windows или macOS), в своем научном или инженерном режиме дублирует функциональность физического калькулятора. Пользователю доступны функции для вычисления синуса, косинуса и тангенса. Для вычисления остальных функций необходимо использовать их определения через доступные функции.

Ответ: Нет, стандартные калькуляторы в операционных системах обычно предоставляют функции только для синуса, косинуса и тангенса.

Отдельная стандартная функция в изучаемом вами языке программирования

Нет, не для всех. Стандартные математические библиотеки в большинстве языков программирования (например, модуль math в Python, класс Math в Java и JavaScript, библиотека <cmath> в C++) предоставляют встроенные функции только для синуса, косинуса и тангенса. Для использования котангенса, секанса или косеканса программисту нужно написать собственные функции, основываясь на их математических определениях.

Ответ: Нет, в стандартных библиотеках большинства языков программирования реализованы функции только для синуса, косинуса и тангенса.

Реализуйте вычисление недостающих функций с помощью имеющихся

Недостающие тригонометрические функции (котангенс, секанс и косеканс) могут быть легко вычислены через имеющиеся (синус и косинус). Эти формулы универсальны и могут быть использованы как для ручных расчетов на калькуляторе, так и для реализации в виде функций в программе.

• Котангенс ($\cot(x)$) — это отношение косинуса к синусу.
  Формула: $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
  Функция не определена при $\sin(x) = 0$.

• Секанс ($\sec(x)$) — это величина, обратная косинусу.
  Формула: $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
  Функция не определена при $\cos(x) = 0$.

• Косеканс ($\csc(x)$) — это величина, обратная синусу.
  Формула: $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$
  Функция не определена при $\sin(x) = 0$.

Пример реализации этих функций на языке программирования Python:

import mathdef cot(x): ""Вычисляет котангенс угла x (в радианах)."" if math.sin(x) == 0: raise ValueError("Котангенс не определен для данного угла") return math.cos(x) / math.sin(x)def sec(x): ""Вычисляет секанс угла x (в радианах)."" if math.cos(x) == 0: raise ValueError("Секанс не определен для данного угла") return 1 / math.cos(x)def csc(x): ""Вычисляет косеканс угла x (в радианах)."" if math.sin(x) == 0: raise ValueError("Косеканс не определен для данного угла") return 1 / math.sin(x) 

Ответ: Недостающие функции вычисляются по формулам, основанным на их определении через синус и косинус: $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$, $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$.

4.1. Запишите общие алгоритмы для решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида $\sin(x) = a$, $\cos(x) = a$, $\tan(x) = a$, $\cot(x) = a$. Алгоритм их решения заключается в проверке условий существования корней и применении общих формул.

Для уравнения $\sin(x) = a$:

1. Проверить условие существования решений: $|a| \le 1$. Если это условие не выполняется ($|a| > 1$), то уравнение корней не имеет.
2. Если $|a| \le 1$, то решения находятся по общей формуле: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. Полезно помнить решения для частных случаев:
   • при $a=0, \sin(x) = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
   • при $a=1, \sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
   • при $a=-1, \sin(x) = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для уравнения $\cos(x) = a$:

1. Проверить условие существования решений: $|a| \le 1$. Если $|a| > 1$, корней нет.
2. Если $|a| \le 1$, то решения находятся по общей формуле: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. Частные случаи:
   • при $a=0, \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
   • при $a=1, \cos(x) = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
   • при $a=-1, \cos(x) = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для уравнения $\tan(x) = a$:

Уравнение имеет решения при любом действительном $a$. Общая формула: $x = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для уравнения $\cot(x) = a$:

Уравнение имеет решения при любом действительном $a$. Общая формула: $x = \text{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения состоит в проверке области допустимых значений для $a$ и последующем применении соответствующей общей формулы решения.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшие тригонометрические неравенства (вида $\sin(x) > a$, $\cos(x) \le a$ и т.д.) удобнее всего решать с помощью единичной тригонометрической окружности.

Общий алгоритм:

1. Изобразить на координатной плоскости единичную окружность.
2. На соответствующей оси ($Oy$ для синуса, $Ox$ для косинуса) отметить значение $a$ и провести перпендикулярную ей прямую ($y=a$ или $x=a$).
3. Найти точки пересечения прямой с окружностью. Эти точки соответствуют решениям уравнения (например, $f(x)=a$). Обозначить соответствующие им углы, например, $t_1$ и $t_2$.
4. Выделить на окружности дугу, точки которой удовлетворяют неравенству (например, для $\sin(x) > a$ — дуга над прямой $y=a$).
5. Записать числовой промежуток, соответствующий этой дуге, двигаясь против часовой стрелки от начальной точки дуги к конечной.
6. К границам полученного промежутка прибавить период функции ($2\pi k$ для $\sin$ и $\cos$, $\pi k$ для $\tan$ и $\cot$, где $k \in \mathbb{Z}$), чтобы получить общее решение.

Итоговые формулы (для $|a| < 1$):

• $\sin(x) > a \implies \arcsin(a) + 2\pi k < x < \pi - \arcsin(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\sin(x) < a \implies -\pi - \arcsin(a) + 2\pi k < x < \arcsin(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\cos(x) > a \implies -\arccos(a) + 2\pi k < x < \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\cos(x) < a \implies \arccos(a) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\tan(x) > a \implies \arctan(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\tan(x) < a \implies -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\cot(x) > a \implies \pi k < x < \text{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\cot(x) < a \implies \text{arccot}(a) + \pi k < x < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Примечание: Для нестрогих неравенств ($\le, \ge$) знаки в ответе также будут нестрогими. При $|a| \ge 1$ для синуса и косинуса решение становится тривиальным (либо все $x \in \mathbb{R}$, либо пустое множество, либо отдельные точки).

Ответ: Алгоритм решения простейшего тригонометрического неравенства основан на анализе единичной окружности, что позволяет наглядно определить интервалы-решения, которые затем обобщаются путем добавления периода функции.

4.2. Научитесь находить значения функций арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс с помощью микрокалькулятора; программы «Калькулятор» из набора стандартных программ на компьютере; стандартных функций изучаемого языка программирования.

Обратные тригонометрические функции (аркфункции) — это функции, обратные к тригонометрическим функциям. Они позволяют найти угол по известному значению его синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Рассмотрим, как вычислять их значения с помощью различных инструментов.

С помощью микрокалькулятора

Большинство инженерных (научных) микрокалькуляторов имеют встроенные функции для вычисления арксинуса, арккосинуса и арктангенса.

1. Выберите режим измерения углов. Перед вычислениями убедитесь, что калькулятор настроен на нужные единицы — градусы (DEG) или радианы (RAD). Обычно для этого есть специальная кнопка (например, `DRG` или `MODE`).
2. Введите число. Наберите на калькуляторе число, для которого нужно найти аркфункцию (например, 0.5).
3. Используйте обратную функцию. Как правило, нужно нажать кнопку `SHIFT`, `INV` или `2nd`, а затем соответствующую тригонометрическую кнопку (`sin`, `cos`, `tan`). На многих калькуляторах обратные функции вынесены на те же кнопки и обозначены как $sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$ или `asin`, `acos`, `atan`.

Пример: Найти $arcsin(0.5)$ в градусах.

1. Переключите калькулятор в режим DEG.
2. Введите `0.5`.
3. Нажмите `2nd`, затем `sin` (или просто кнопку $sin^{-1}$).
4. Результат на экране будет `30`.

Вычисление арккотангенса ($arccot(x)$)

Эта функция редко встречается на калькуляторах. Для её вычисления используется формула, связывающая арккотангенс и арктангенс:

• В радианах: $arccot(x) = \frac{\pi}{2} - arctan(x)$
• В градусах: $arccot(x) = 90^\circ - arctan(x)$

Пример: Найти $arccot(1)$ в градусах.

1. Вычислите $arctan(1)$. Результат будет `45`.
2. Вычтите полученное значение из 90: $90 - 45 = 45$.

Ответ: Для вычисления аркфункций на микрокалькуляторе необходимо выбрать режим (градусы/радианы), ввести число и использовать кнопки $sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$ (часто через `SHIFT` или `2nd`). Арккотангенс вычисляется по формуле через арктангенс.

С помощью программы «Калькулятор» на компьютере

Стандартный калькулятор в операционных системах (например, Windows) имеет научный (инженерный) режим, который поддерживает аркфункции.

1. Откройте калькулятор и переключите режим. Запустите программу «Калькулятор». В меню (обычно значок "бургер" ☰) выберите вид «Научный» или «Инженерный».
2. Выберите единицы измерения углов. В верхней части окна калькулятора найдите переключатель единиц и выберите «Градусы» (DEG) или «Радианы» (RAD).
3. Вычисление арксинуса, арккосинуса, арктангенса.
   • Откройте выпадающее меню «Тригонометрия».
   • Нажмите кнопку «2nd». Кнопки `sin`, `cos`, `tan` изменятся на $sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$.
   • Введите число, а затем нажмите на нужную аркфункцию.

Пример: Найти $arccos(-0.5)$ в радианах.

1. Включите режим «Научный».
2. Выберите «Радианы» (RAD).
3. Введите `-0.5`.
4. В меню «Тригонометрия» нажмите «2nd», а затем $cos^{-1}$.
5. Результат будет примерно `2.094395...`, что соответствует $2\pi/3$.

Вычисление арккотангенса

Как и в случае с микрокалькулятором, используйте формулу $arccot(x) = \frac{\pi}{2} - arctan(x)$ для радиан или $arccot(x) = 90^\circ - arctan(x)$ для градусов.

Ответ: В программе «Калькулятор» нужно перейти в научный режим, выбрать единицы измерения, нажать кнопку `2nd` (или `Inv`) и затем выбрать нужную функцию ($sin^{-1}$, $cos^{-1}$, $tan^{-1}$). Арккотангенс вычисляется по формуле через арктангенс.

С помощью стандартных функций языка программирования

В большинстве языков программирования есть стандартная математическая библиотека, содержащая тригонометрические функции. Рассмотрим на примере языка Python.

Сначала необходимо импортировать математический модуль:

import math

Все тригонометрические функции в модуле `math` по умолчанию работают с радианами.

• Арксинус: `math.asin(x)`
• Арккосинус: `math.acos(x)`
• Арктангенс: `math.atan(x)`

Вычисление арккотангенса

Стандартной функции для арккотангенса обычно нет. Его вычисляют по формуле: `math.pi / 2 - math.atan(x)`.

Пример кода на Python:

import math# Значение, для которого ищем аркфункцииx = 0.5# Вычисление аркфункций в радианахarcsin_rad = math.asin(x)arccos_rad = math.acos(x)arctan_rad = math.atan(x)arccot_rad = math.pi / 2 - math.atan(x)print(f"Для x = {x}:")print(f" arcsin = {arcsin_rad:.4f} радиан")print(f" arccos = {arccos_rad:.4f} радиан")print(f" arctan = {arctan_rad:.4f} радиан")print(f" arccot = {arccot_rad:.4f} радиан")# Для перевода в градусы можно использовать math.degrees()arcsin_deg = math.degrees(arcsin_rad)print(f"\nРезультат для arcsin в градусах: {arcsin_deg:.2f}°") 

Результат вычисления `math.asin(0.5)` в градусах будет `30.00`, что соответствует известному значению $arcsin(0.5) = 30^\circ$.

Ответ: В языках программирования используются функции из математических библиотек (например, `asin()`, `acos()`, `atan()` в Python), которые возвращают результат в радианах. Арккотангенс вычисляется по формуле через арктангенс.

5.1. Каким образом с помощью табличного редактора можно проиллюстрировать понятие предела функции в точке?

Для иллюстрации понятия предела функции в точке с помощью табличного редактора (например, Microsoft Excel или Google Sheets) можно использовать численный и графический методы. Идея состоит в том, чтобы показать, как значения функции $f(x)$ ведут себя при приближении аргумента $x$ к некоторой точке $a$ с двух сторон (слева и справа).

Рассмотрим на конкретном примере: найдем предел функции $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ при $x$, стремящемся к нулю ($x \to 0$). Известно, что этот предел равен 1 (первый замечательный предел), хотя сама функция в точке $x=0$ не определена (деление на ноль).

1. Создание таблицы значений

Создадим таблицу, в которой будем вычислять значения функции для $x$, которые становятся всё ближе и ближе к 0.

• Столбец A: значения $x$, приближающиеся к 0 слева ($x \to 0^-$). Заполним ячейки значениями, которые всё ближе к нулю, оставаясь отрицательными. Например: -1; -0.5; -0.1; -0.01; -0.001; -0.0001.
• Столбец B: значения $f(x)$ для $x$ из столбца A. В ячейку B1 введем формулу для вычисления значения функции, ссылаясь на ячейку A1. В большинстве табличных редакторов формула будет выглядеть как =SIN(A1)/A1. Затем эту формулу нужно "растянуть" вниз на все значения в столбце A.
• Столбец C: значения $x$, приближающиеся к 0 справа ($x \to 0^+$). Заполним ячейки положительными значениями, стремящимися к нулю. Например: 1; 0.5; 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001.
• Столбец D: значения $f(x)$ для $x$ из столбца C. Аналогично столбцу B, в ячейку D1 вводится формула =SIN(C1)/C1, которая затем копируется на весь столбец.

Примерно так будет выглядеть таблица:

Из таблицы видно, что чем ближе $x$ к 0 (и слева, и справа), тем ближе значение $f(x)$ к 1. Это численная иллюстрация того, что $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.

2. Построение графика

На основе данных из столбцов A, B, C и D можно построить график. Для этого нужно выделить эти четыре столбца и выбрать тип диаграммы "Точечная" (Scatter plot).

• График наглядно покажет, что кривая функции с обеих сторон "подходит" к точке с координатами $(0, 1)$.
• При этом в самой точке $x=0$ будет "выколотая точка" или разрыв, поскольку функция там не определена. Это очень важный момент, который помогает понять, что предел в точке и значение функции в точке — это разные понятия.

Таким образом, табличный редактор позволяет численно (через таблицу) и визуально (через график) продемонстрировать поведение функции в окрестности точки, наглядно иллюстрируя фундаментальное понятие предела.

Ответ: Понятие предела функции в точке можно проиллюстрировать в табличном редакторе путем создания таблицы значений аргумента $x$, бесконечно приближающихся к заданной точке $a$ слева и справа, и вычисления соответствующих им значений функции $f(x)$. Анализ таблицы показывает, что значения $f(x)$ стремятся к определенному числу — пределу. Для большей наглядности можно построить точечный график по этим данным, который визуально покажет, как ветви функции сходятся к точке с ординатой, равной пределу, даже если сама функция в этой точке не определена.

5.2.! Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке. Можно ли с помощью этой подпрограммы определить, является ли функция непрерывной на некотором промежутке?

Нет, с помощью такой подпрограммы невозможно со 100% уверенностью определить, является ли функция непрерывной на некотором промежутке. Это связано с фундаментальными ограничениями как математического анализа, так и вычислительной техники.

1. Бесконечность точек на промежутке
Любой числовой промежуток (например, отрезок $[a, b]$) содержит бесконечное множество точек. Программа, работающая конечное время, может вычислить значение функции лишь в конечном наборе точек. Между любыми двумя точками, в которых мы проверили значение функции, всегда найдется бесконечное множество других точек, где поведение функции нам неизвестно.

Математическое определение непрерывности функции $f(x)$ в точке $c$ (определение Коши) гласит:
Для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ найдется такое положительное число $\delta$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $|x - c| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(c)| < \varepsilon$.
Формально:
$\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \forall x \ (|x - c| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(c)| < \varepsilon)$
Алгоритмически невозможно проверить это условие для всех $\varepsilon$ и для всех $x$ из $\delta$-окрестности точки $c$, так как их бесконечно много.

2. Пример с «неуловимым» разрывом
Рассмотрим функцию, которая разрывна только в одной точке, причем эта точка является иррациональным числом. Например, на отрезке $[0, 4]$:
$f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \neq \pi \\ 1, & \text{если } x = \pi \end{cases}$
Эта функция имеет разрыв в точке $x = \pi$. Однако, чтобы программа обнаружила этот разрыв, она должна была бы вызвать подпрограмму с аргументом, в точности равным $\pi$. Поскольку число $\pi$ иррациональное, оно имеет бесконечную непериодическую десятичную дробь. В памяти компьютера оно всегда будет представлено с некоторой конечной точностью (например, как число типа `double`). Таким образом, программа никогда не сможет передать в подпрограмму точное значение $\pi$.
Проверяя любые точки, представленные в виде чисел с плавающей запятой, программа всегда будет получать в качестве результата 0. На основании этого она сделает неверный вывод, что функция непрерывна на всем промежутке.

Что можно сделать на практике?
На практике можно лишь провести эвристическую проверку, которая не дает гарантии, но позволяет с высокой степенью уверенности судить о непрерывности. Для этого можно:

• Вычислить значения функции в большом количестве точек на промежутке, расположенных с малым шагом.
• Проверить, что разница значений функции в соседних точках $|f(x_{i+1}) - f(x_i)|$ не превышает некоторого малого порога.

Если это условие выполняется, можно предположить, что функция непрерывна. Однако это не является строгим доказательством и может пропустить очень "узкие" и резкие разрывы, которые попадают между точками проверки.

Ответ: Нет, строго определить, является ли функция непрерывной на некотором промежутке, с помощью подпрограммы, вычисляющей ее значение в точке, невозможно. Любой алгоритм сможет проверить лишь конечное число точек и на основании этого сделать только вероятностное предположение, но не дать гарантированного ответа, так как разрыв может существовать в любой из бесконечного числа непроверенных точек.

5.3. Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке. Напишите программу для определения $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ в данной точке. Когда эта программа будет прекращать свою работу? Какие выводы о точности её результатов можно сделать?

Программа для определения $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ в данной точке
Данный предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x$, обозначаемой как $f'(x)$. Для численного вычисления этого предела можно использовать метод конечных разностей. Программа будет выполнять итерационный процесс, уменьшая шаг $\Delta x$ и вычисляя отношение приращений, пока результат не стабилизируется.

Алгоритм программы может выглядеть следующим образом:
1. Задать начальное значение шага $\Delta x$ (например, $h_0 = 1.0$).
2. Задать точку $x$, в которой вычисляется производная.
3. Войти в цикл, который будет итеративно уменьшать шаг $\Delta x$. На каждой итерации $i$:
a. Вычислить значение разностного отношения: $D_i = \frac{f(x + h_i) - f(x)}{h_i}$.
b. Уменьшить шаг для следующей итерации, например, вдвое: $h_{i+1} = h_i / 2$.
c. Сравнить текущее значение $D_i$ с предыдущим $D_{i-1}$. Если разница между ними меньше заданной точности (допуска), остановить цикл.
4. Последнее вычисленное значение $D_i$ и будет приближенным значением производной.

Для реализации потребуется подпрограмма (функция) `f(x)`, которая вычисляет значение исходной функции.
Ответ: Программа будет итерационно вычислять значение выражения $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$, на каждом шаге уменьшая $\Delta x$ (например, вдвое), до тех пор, пока результат не перестанет существенно изменяться.

Когда эта программа будет прекращать свою работу?
Программа прекратит свою работу при выполнении одного из двух основных условий:
1. Достижение заданной точности. На каждой итерации вычисляется новое приближение производной. Если разница между новым и предыдущим приближением становится меньше некоторого малого числа $\epsilon$ (например, $10^{-9}$), считается, что процесс сошелся, и программа останавливается.
2. Ограничение машинной точности. Компьютеры работают с числами с плавающей запятой, которые имеют ограниченную точность (например, `double`). Когда шаг $\Delta x$ становится чрезвычайно малым, возникает ситуация, когда компьютер не может различить числа $x$ и $x + \Delta x$. В этом случае выражение `x + Δx` будет в точности равно `x` с точки зрения машинной арифметики. Тогда числитель дроби $f(x + \Delta x) - f(x)$ станет равен нулю, и результат вычисления производной будет неверным (равным 0). Программа должна отслеживать это условие ($x + \Delta x == x$) и прекращать работу, чтобы избежать неверных вычислений. Это является фундаментальным ограничением для данного метода.

Ответ: Программа прекратит работу либо когда последовательные вычисления производной станут достаточно близки друг к другу (достигнута заданная точность), либо когда шаг $\Delta x$ станет настолько мал, что компьютер перестанет отличать $x$ от $x+\Delta x$ из-за ограничений точности вычислений.

Какие выводы о точности её результатов можно сделать?
Точность результатов определяется балансом двух типов ошибок:
1. Ошибка усечения (методическая погрешность). Эта ошибка связана с тем, что формула $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ является лишь приближением производной. Из разложения в ряд Тейлора следует, что эта ошибка пропорциональна шагу $\Delta x$. Таким образом, чтобы уменьшить ошибку усечения, необходимо уменьшать $\Delta x$.
2. Ошибка округления (вычислительная погрешность). Эта ошибка возникает из-за ограниченной точности представления чисел в компьютере. Когда $\Delta x$ становится очень малым, значения $f(x + \Delta x)$ и $f(x)$ становятся очень близкими. Вычитание двух близких чисел приводит к "катастрофической потере точности" — результат имеет очень большую относительную погрешность. Эта ошибка округления, наоборот, растет при уменьшении $\Delta x$.

Таким образом, существует оптимальное значение $\Delta x$, при котором суммарная ошибка (усечения + округления) минимальна. Если делать $\Delta x$ меньше этого оптимального значения, точность будет не улучшаться, а ухудшаться из-за преобладания ошибок округления.

Выводы:

• Точность результата фундаментально ограничена машинной точностью. Нельзя получить сколь угодно точный результат, просто уменьшая $\Delta x$.
• Существует оптимальное значение шага $\Delta x$, которое обеспечивает наилучшую возможную точность. Дальнейшее уменьшение шага приведет к ухудшению результата.
• Для большинства гладких функций и при использовании стандартной двойной точности (`double`) оптимальный шаг $\Delta x$ находится в районе $10^{-7} - 10^{-8}$.

Ответ: Точность результатов ограничена и зависит от баланса между ошибкой усечения (уменьшается с $\Delta x$) и ошибкой округления (растет с уменьшением $\Delta x$). Бесконечное уменьшение $\Delta x$ не приводит к увеличению точности, а наоборот, может ее катастрофически ухудшить. Существует оптимальный шаг $\Delta x$, минимизирующий общую ошибку.

5.4. Найдите в Интернете информацию о численных методах дифференцирования.

Численное дифференцирование — это совокупность методов для вычисления приближенного значения производной функции, основанных на ее значениях в дискретном наборе точек. Эти методы применяются, когда:

• Аналитическое выражение для функции неизвестно, и она задана таблично (например, по результатам эксперимента).
• Аналитическое выражение для функции слишком сложное для дифференцирования.
• Требуется найти производную в рамках численного решения дифференциальных уравнений.

В основе большинства методов лежит замена определения производной через предел ($f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$) на формулу с конечным, малым приращением аргумента $h$, называемым шагом. Наиболее распространенной группой методов являются методы конечных разностей, которые выводятся из разложения функции в ряд Тейлора.

К простейшим методам относятся правая (или прямая) разность, использующая формулу $f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, и левая (или обратная) разность с формулой $f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h}$. Оба этих метода имеют первый порядок точности, то есть их погрешность пропорциональна шагу $h$ (записывается как $O(h)$). Это означает, что при уменьшении шага вдвое погрешность также уменьшается примерно вдвое.

Более точным является метод центральной разности, который использует значения функции симметрично относительно точки $x$. Его формула для первой производной: $f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$. Этот метод имеет второй порядок точности ($O(h^2)$), что делает его значительно эффективнее: при уменьшении шага $h$ в 2 раза погрешность уменьшается уже в 4 раза. Поэтому центральная разность является предпочтительной в большинстве приложений.

Методы конечных разностей можно обобщить и для нахождения производных высших порядков. Например, формула центральной разности для второй производной выглядит так: $f''(x) \approx \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$. Эта формула также имеет порядок точности $O(h^2)$.

Несмотря на простоту, численное дифференцирование сопряжено с серьезными трудностями. Главными проблемами являются:

1. Выбор шага $h$. Существует компромисс: слишком большой шаг $h$ ведет к большой погрешности метода (усечения), а слишком маленький — к катастрофическому росту погрешности округления из-за ограничений машинной арифметики (вычитание близких чисел с последующим делением на малое число). Поэтому существует оптимальное значение $h$, минимизирующее суммарную ошибку.
2. Неустойчивость. Численное дифференцирование является некорректно поставленной задачей. Это означает, что малые погрешности или "шум" во входных данных (значениях функции) могут приводить к очень большим ошибкам в итоговом значении производной. Это делает метод чувствительным к качеству данных, особенно экспериментальных.

Ответ: Численное дифференцирование — это набор методов для приближенного вычисления производной функции, основанных на замене предела в ее определении конечными разностями. Наиболее распространены методы правой, левой и центральной разностей, которые аппроксимируют производную, используя значения функции в соседних точках. Метод центральной разности ($f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$) является более точным ($O(h^2)$). Основными проблемами являются выбор оптимального шага $h$ для баланса между погрешностью метода и погрешностью округления, а также неустойчивость к ошибкам во входных данных.