Номер 5.3, страница 425 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.3. Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке. Напишите программу для определения $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ в данной точке. Когда эта программа будет прекращать свою работу? Какие выводы о точности её результатов можно сделать?

Программа для определения $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ в данной точке
Данный предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x$, обозначаемой как $f'(x)$. Для численного вычисления этого предела можно использовать метод конечных разностей. Программа будет выполнять итерационный процесс, уменьшая шаг $\Delta x$ и вычисляя отношение приращений, пока результат не стабилизируется.

Алгоритм программы может выглядеть следующим образом:
1. Задать начальное значение шага $\Delta x$ (например, $h_0 = 1.0$).
2. Задать точку $x$, в которой вычисляется производная.
3. Войти в цикл, который будет итеративно уменьшать шаг $\Delta x$. На каждой итерации $i$:
a. Вычислить значение разностного отношения: $D_i = \frac{f(x + h_i) - f(x)}{h_i}$.
b. Уменьшить шаг для следующей итерации, например, вдвое: $h_{i+1} = h_i / 2$.
c. Сравнить текущее значение $D_i$ с предыдущим $D_{i-1}$. Если разница между ними меньше заданной точности (допуска), остановить цикл.
4. Последнее вычисленное значение $D_i$ и будет приближенным значением производной.

Для реализации потребуется подпрограмма (функция) `f(x)`, которая вычисляет значение исходной функции.
Ответ: Программа будет итерационно вычислять значение выражения $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$, на каждом шаге уменьшая $\Delta x$ (например, вдвое), до тех пор, пока результат не перестанет существенно изменяться.

Когда эта программа будет прекращать свою работу?
Программа прекратит свою работу при выполнении одного из двух основных условий:
1. Достижение заданной точности. На каждой итерации вычисляется новое приближение производной. Если разница между новым и предыдущим приближением становится меньше некоторого малого числа $\epsilon$ (например, $10^{-9}$), считается, что процесс сошелся, и программа останавливается.
2. Ограничение машинной точности. Компьютеры работают с числами с плавающей запятой, которые имеют ограниченную точность (например, `double`). Когда шаг $\Delta x$ становится чрезвычайно малым, возникает ситуация, когда компьютер не может различить числа $x$ и $x + \Delta x$. В этом случае выражение `x + Δx` будет в точности равно `x` с точки зрения машинной арифметики. Тогда числитель дроби $f(x + \Delta x) - f(x)$ станет равен нулю, и результат вычисления производной будет неверным (равным 0). Программа должна отслеживать это условие ($x + \Delta x == x$) и прекращать работу, чтобы избежать неверных вычислений. Это является фундаментальным ограничением для данного метода.

Ответ: Программа прекратит работу либо когда последовательные вычисления производной станут достаточно близки друг к другу (достигнута заданная точность), либо когда шаг $\Delta x$ станет настолько мал, что компьютер перестанет отличать $x$ от $x+\Delta x$ из-за ограничений точности вычислений.

Какие выводы о точности её результатов можно сделать?
Точность результатов определяется балансом двух типов ошибок:
1. Ошибка усечения (методическая погрешность). Эта ошибка связана с тем, что формула $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ является лишь приближением производной. Из разложения в ряд Тейлора следует, что эта ошибка пропорциональна шагу $\Delta x$. Таким образом, чтобы уменьшить ошибку усечения, необходимо уменьшать $\Delta x$.
2. Ошибка округления (вычислительная погрешность). Эта ошибка возникает из-за ограниченной точности представления чисел в компьютере. Когда $\Delta x$ становится очень малым, значения $f(x + \Delta x)$ и $f(x)$ становятся очень близкими. Вычитание двух близких чисел приводит к "катастрофической потере точности" — результат имеет очень большую относительную погрешность. Эта ошибка округления, наоборот, растет при уменьшении $\Delta x$.

Таким образом, существует оптимальное значение $\Delta x$, при котором суммарная ошибка (усечения + округления) минимальна. Если делать $\Delta x$ меньше этого оптимального значения, точность будет не улучшаться, а ухудшаться из-за преобладания ошибок округления.

Выводы:

• Точность результата фундаментально ограничена машинной точностью. Нельзя получить сколь угодно точный результат, просто уменьшая $\Delta x$.
• Существует оптимальное значение шага $\Delta x$, которое обеспечивает наилучшую возможную точность. Дальнейшее уменьшение шага приведет к ухудшению результата.
• Для большинства гладких функций и при использовании стандартной двойной точности (`double`) оптимальный шаг $\Delta x$ находится в районе $10^{-7} - 10^{-8}$.

Ответ: Точность результатов ограничена и зависит от баланса между ошибкой усечения (уменьшается с $\Delta x$) и ошибкой округления (растет с уменьшением $\Delta x$). Бесконечное уменьшение $\Delta x$ не приводит к увеличению точности, а наоборот, может ее катастрофически ухудшить. Существует оптимальный шаг $\Delta x$, минимизирующий общую ошибку.