Страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

68. Решите уравнение:

1) $ \cos^2 5x + 7 \sin^2 5x = 4 \sin 10x; $

2) $ 3 \sin^2 x - 7 \sin x \cos x + 14 \cos^2 x - 2 = 0. $

1) $ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x = 4\sin 10x $

Преобразуем левую и правую части уравнения. В левой части воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x = (\cos^2 5x + \sin^2 5x) + 6\sin^2 5x = 1 + 6\sin^2 5x $.

В правой части применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ 4\sin 10x = 4(2\sin 5x \cos 5x) = 8\sin 5x \cos 5x $.

Уравнение принимает вид:

$ 1 + 6\sin^2 5x = 8\sin 5x \cos 5x $.

Чтобы сделать уравнение однородным, заменим $ 1 $ на $ \sin^2 5x + \cos^2 5x $:

$ (\sin^2 5x + \cos^2 5x) + 6\sin^2 5x = 8\sin 5x \cos 5x $.

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$ 7\sin^2 5x - 8\sin 5x \cos 5x + \cos^2 5x = 0 $.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Так как значения $ x $, при которых $ \cos 5x = 0 $, не являются решениями уравнения (если $ \cos 5x = 0 $, то $ \sin^2 5x = 1 $, и уравнение превращается в $ 7=0 $, что неверно), мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 5x $:

$ \frac{7\sin^2 5x}{\cos^2 5x} - \frac{8\sin 5x \cos 5x}{\cos^2 5x} + \frac{\cos^2 5x}{\cos^2 5x} = 0 $

$ 7\tan^2 5x - 8\tan 5x + 1 = 0 $.

Пусть $ t = \tan 5x $, тогда получим квадратное уравнение $ 7t^2 - 8t + 1 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36 $.

Корни уравнения: $ t_1 = \frac{8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $ и $ t_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan 5x = 1 \implies 5x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5} $, где $ n \in Z $.

2. $ \tan 5x = \frac{1}{7} \implies 5x = \arctan(\frac{1}{7}) + \pi k \implies x = \frac{1}{5}\arctan(\frac{1}{7}) + \frac{\pi k}{5} $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, x = \frac{1}{5}\arctan(\frac{1}{7}) + \frac{\pi k}{5}, n, k \in Z $.

2) $ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2 = 0 $

Для приведения уравнения к однородному виду, заменим число $ -2 $ на выражение $ -2 \cdot 1 = -2(\sin^2 x + \cos^2 x) $:

$ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0 $

$ (3-2)\sin^2 x - 7\sin x \cos x + (14-2)\cos^2 x = 0 $

$ \sin^2 x - 7\sin x \cos x + 12\cos^2 x = 0 $.

Получили однородное тригонометрическое уравнение. Убедимся, что $ \cos x \neq 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставляя в уравнение, получаем $ 1 = 0 $, что неверно. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{7\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{12\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x - 7\tan x + 12 = 0 $.

Пусть $ t = \tan x $, тогда получим квадратное уравнение $ t^2 - 7t + 12 = 0 $.

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = 4 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n $, где $ n \in Z $.

2. $ \tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi k $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ x = \arctan(3) + \pi n, x = \arctan(4) + \pi k, n, k \in Z $.

69. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

$\sin^2x + \cos x + 1 = 0.$

Для решения уравнения $\sin^2 x + \cos x + 1 = 0$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Выразим из тождества $\sin^2 x$:
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$-\cos^2 x + \cos x + 2 = 0$

Умножим все члены уравнения на -1 для удобства:
$\cos^2 x - \cos x - 2 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, наша замена $t$ должна удовлетворять условию $-1 \le t \le 1$.
$t^2 - t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Вернемся к замене $t = \cos x$:
1. $\cos x = 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le \cos x \le 1$, следовательно, у этого уравнения нет решений.
2. $\cos x = -1$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решения находятся по формуле:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого переберем целочисленные значения $n$:

• При $n=0$, $x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$. Это положительный корень.
• При $n=-1$, $x = \pi + 2\pi \cdot (-1) = \pi - 2\pi = -\pi$. Это отрицательный корень.
• При $n=-2$, $x = \pi + 2\pi \cdot (-2) = \pi - 4\pi = -3\pi$. Это тоже отрицательный корень.

Отрицательные корни образуют последовательность: $-\pi, -3\pi, -5\pi, \ldots$.
Наибольшим из них является тот, что ближе всего к нулю, то есть $-\pi$.

Ответ: $-\pi$

70. Сколько корней уравнения $\cos 2x + \sin x = \cos^2 x$ принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$?

Для того чтобы найти количество корней уравнения на заданном промежутке, сначала решим само уравнение:

$\cos{2x} + \sin{x} = \cos^2{x}$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}$ и основным тригонометрическим тождеством $\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}$, чтобы привести уравнение к одной переменной $\sin{x}$.

$(1 - 2\sin^2{x}) + \sin{x} = 1 - \sin^2{x}$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

$1 - 2\sin^2{x} + \sin{x} - 1 + \sin^2{x} = 0$

$-\sin^2{x} + \sin{x} = 0$

Умножим обе части на -1:

$\sin^2{x} - \sin{x} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin{x}$ за скобки:

$\sin{x}(\sin{x} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1. $\sin{x} = 0$
2. $\sin{x} - 1 = 0 \Rightarrow \sin{x} = 1$

Найдем общие решения для каждого из этих уравнений:

• Для $\sin{x} = 0$ решением является серия корней $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Для $\sin{x} = 1$ решением является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем, какие из этих корней принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.

1. Для серии $x = k\pi$:

• при $k = -1$, $x = -\pi$. Этот корень принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.
• при $k = 0$, $x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.
• при $k = 1$, $x = \pi$. Этот корень принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.

При других целых значениях $k$ корни будут выходить за пределы указанного промежутка. Таким образом, из этой серии получаем 3 корня.

2. Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$:

• при $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$.

При $k=1$ корень $x = \frac{5\pi}{2} > \pi$, а при $k=-1$ корень $x = -\frac{3\pi}{2} < -\pi$. Таким образом, из этой серии получаем 1 корень.

Суммируя найденные корни, получаем: $-\pi, 0, \pi, \frac{\pi}{2}$. Все они различны.

Всего на промежутке $[-\pi; \pi]$ уравнение имеет 4 корня.

Ответ: 4

71. При каких значениях параметра a имеет корни уравнение:

1) $\sin^2 x - (3a - 3)\sin x + a(2a - 3) = 0;$

2) $\cos^2 x + 2\cos x + a^2 - 6a + 10 = 0?$

1) Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, исходное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень $t$, удовлетворяющий условию $|t| \le 1$.

После замены получаем уравнение:

$t^2 - (3a - 3)t + a(2a - 3) = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = (-(3a - 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(2a - 3) = (3(a-1))^2 - 4a(2a - 3) = 9(a^2 - 2a + 1) - 8a^2 + 12a = 9a^2 - 18a + 9 - 8a^2 + 12a = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.

Поскольку $D = (a-3)^2 \ge 0$ при любых $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их:

$t = \frac{3a - 3 \pm \sqrt{(a-3)^2}}{2} = \frac{3a - 3 \pm (a-3)}{2}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{3a - 3 + (a-3)}{2} = \frac{4a - 6}{2} = 2a - 3$

$t_2 = \frac{3a - 3 - (a-3)}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Исходное уравнение имеет корни, если хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это означает, что должна выполняться совокупность неравенств:

$\left[ \begin{gathered} -1 \le t_1 \le 1 \\ -1 \le t_2 \le 1 \end{gathered} \right. \iff \left[ \begin{gathered} -1 \le 2a - 3 \le 1 \\ -1 \le a \le 1 \end{gathered} \right.$

Решим первое неравенство:

$-1 \le 2a - 3 \le 1$

$-1+3 \le 2a \le 1+3$

$2 \le 2a \le 4$

$1 \le a \le 2$

Решением совокупности является объединение решений двух неравенств: $a \in [-1, 1] \cup [1, 2]$.

Объединяя эти промежутки, получаем $a \in [-1, 2]$.

Ответ: $a \in [-1, 2]$.

2) Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для выражений, содержащих $x$ и $a$.

$\cos^2 x + 2\cos x + a^2 - 6a + 10 = 0$

$(\cos^2 x + 2\cos x + 1) - 1 + (a^2 - 6a + 9) + 1 = 0$

$(\cos x + 1)^2 + (a - 3)^2 = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Каждый из квадратов является неотрицательным числом: $(\cos x + 1)^2 \ge 0$ и $(a - 3)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (\cos x + 1)^2 = 0 \\ (a-3)^2 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} \cos x + 1 = 0 \\ a - 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x = -1 \\ a = 3 \end{cases}$

Уравнение $\cos x = -1$ имеет корни (например, $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$). Это означает, что при $a=3$ исходное уравнение имеет корни. Если $a \ne 3$, то второе уравнение системы не выполняется, и, следовательно, исходное уравнение корней не имеет.

Таким образом, уравнение имеет корни только при одном значении параметра $a$.

Ответ: $a=3$.

72. Решите уравнение $\cos^3 x \sin x + \cos^2 x \sin^2 x - 3\cos x \sin^3 x - 3\sin^4 x = 0.$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением четвертой степени, но его можно решить проще, с помощью метода группировки и разложения на множители.

Исходное уравнение:$cos³x sinx + cos²x sin²x - 3cosx sin³x - 3sin⁴x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

$(cos³x sinx - 3cosx sin³x) + (cos²x sin²x - 3sin⁴x) = 0$

В каждой группе вынесем общий множитель за скобки. В первой группе это $cosx sinx$, во второй — $sin²x$:

$cosx sinx(cos²x - 3sin²x) + sin²x(cos²x - 3sin²x) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(cos²x - 3sin²x)$, который также можно вынести за скобку:

$(cosx sinx + sin²x)(cos²x - 3sin²x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $cosx sinx + sin²x = 0$

2) $cos²x - 3sin²x = 0$

Решим каждое уравнение.

1. Решаем уравнение $cosx sinx + sin²x = 0$

Вынесем $sinx$ за скобку:

$sinx(cosx + sinx) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

а) $sinx = 0 \quad \Rightarrow \quad x = k\pi$, где $k \in Z$.

б) $cosx + sinx = 0 \quad \Rightarrow \quad sinx = -cosx$.

Заметим, что $cosx \ne 0$, так как если $cosx = 0$, то и $sinx = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $sin²x + cos²x = 1$. Поэтому можно разделить обе части на $cosx$:

$\frac{sinx}{cosx} = -1 \quad \Rightarrow \quad tanx = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in Z$.

2. Решаем уравнение $cos²x - 3sin²x = 0$

$cos²x = 3sin²x$

Аналогично предыдущему случаю, $cosx \ne 0$. Разделим обе части на $cos²x$:

$1 = 3 \frac{sin²x}{cos²x} \quad \Rightarrow \quad 1 = 3tan²x \quad \Rightarrow \quad tan²x = \frac{1}{3}$

Отсюда получаем два варианта:

а) $tanx = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{6} + m\pi$, где $m \in Z$.

б) $tanx = -\sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{6} + p\pi$, где $p \in Z$.

Две последние серии решений можно для краткости объединить в одну запись: $x = \pm\frac{\pi}{6} + q\pi$, где $q \in Z$.

Собрав все найденные серии корней, мы получаем полный ответ на задачу.

Ответ: $k\pi; \quad -\frac{\pi}{4} + n\pi; \quad \pm\frac{\pi}{6} + m\pi$, где $k, n, m \in Z$.

73. Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $\cos^2 x - \left(\frac{7}{10} + a\right)\cos x + \frac{7a}{10} = 0$ имеет на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}\right]$:

1) один корень;

2) два корня.

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$.

Сделаем замену $t = \cos x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - \left(\frac{7}{10} + a\right)t + \frac{7a}{10} = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $\frac{7}{10} + a$, а произведение корней равно $\frac{7a}{10}$. Отсюда следует, что корнями являются $t_1 = a$ и $t_2 = \frac{7}{10}$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\cos x = a \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{7}{10}$

Нам нужно найти, при каких значениях параметра $a$ эта совокупность имеет определенное количество корней на промежутке $x \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}\right]$.

Исследуем поведение функции $y = \cos x$ на заданном промежутке. На отрезке $\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ функция $\cos x$ монотонно убывает от $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ до $\cos(\pi) = -1$. На отрезке $\left[\pi, \frac{11\pi}{6}\right]$ функция $\cos x$ монотонно возрастает от $\cos(\pi) = -1$ до $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, множество значений функции $\cos x$ на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}\right]$ есть отрезок $\left[-1; \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

Рассмотрим первое уравнение совокупности: $\cos x = \frac{7}{10}$. Поскольку $\frac{1}{2} = 0.5$, а $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$, то значение $\frac{7}{10} = 0.7$ удовлетворяет условию $\frac{1}{2} < \frac{7}{10} < \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ функция $\cos x$ убывает от $\frac{1}{2}$ до $-1$, поэтому уравнение $\cos x = \frac{7}{10}$ не имеет корней на этом отрезке. На промежутке $\left[\pi, \frac{11\pi}{6}\right]$ функция $\cos x$ возрастает от $-1$ до $\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому уравнение $\cos x = \frac{7}{10}$ имеет ровно один корень на этом отрезке. Итак, уравнение $\cos x = \frac{7}{10}$ всегда имеет ровно один корень на заданном промежутке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}\right]$.

Теперь проанализируем количество корней второго уравнения $\cos x = a$ в зависимости от параметра $a$. Обозначим это количество как $N(a)$.
1. Уравнение не имеет корней ($N(a)=0$), если $a$ находится вне области значений косинуса на данном промежутке, то есть при $a < -1$ или $a > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Уравнение имеет один корень ($N(a)=1$), если $a=-1$ (корень $x=\pi$) или если $a \in \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ (один корень на промежутке возрастания).
3. Уравнение имеет два корня ($N(a)=2$), если $a \in \left(-1, \frac{1}{2}\right]$ (по одному корню на промежутках убывания и возрастания).

Особый случай — когда корни двух уравнений совпадают, то есть $a = \frac{7}{10}$. В этом случае оба уравнения совокупности идентичны: $\cos x = \frac{7}{10}$. Как мы выяснили, это уравнение имеет ровно один корень на заданном промежутке.

Теперь найдем значения $a$, при которых исходное уравнение имеет заданное число корней.

1) один корень

Исходное уравнение имеет один корень в двух случаях:

Случай 1: Уравнения $\cos x = a$ и $\cos x = \frac{7}{10}$ совпадают. Это происходит при $a = \frac{7}{10}$. В этом случае, как показано выше, уравнение имеет ровно один корень.

Случай 2: Уравнения различны ($a \neq \frac{7}{10}$), и уравнение $\cos x = a$ не имеет корней на заданном промежутке. Уравнение $\cos x = \frac{7}{10}$ дает один корень, а уравнение $\cos x = a$ — ноль корней, итого $1+0=1$ корень. Это происходит, когда $N(a)=0$, то есть при $a < -1$ или $a > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $a \in (-\infty; -1) \cup \left\{\frac{7}{10}\right\} \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty\right)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup \left\{\frac{7}{10}\right\} \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty\right)$.

2) два корня

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнения $\cos x = a$ и $\cos x = \frac{7}{10}$ различны ($a \neq \frac{7}{10}$), и уравнение $\cos x = a$ имеет ровно один корень на заданном промежутке. Тогда общее число различных корней будет $1+1=2$.

Уравнение $\cos x = a$ имеет один корень ($N(a)=1$) при $a=-1$ или при $a \in \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

Из этого множества значений нужно исключить случай $a = \frac{7}{10}$, так как он приводит к одному корню исходного уравнения.

Поскольку $\frac{1}{2} < \frac{7}{10} < \frac{\sqrt{3}}{2}$, то множество значений $a$, при которых уравнение $\cos x = a$ имеет один корень и $a \neq \frac{7}{10}$, таково: $a = -1$ или $a \in \left(\frac{1}{2}; \frac{7}{10}\right) \cup \left(\frac{7}{10}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

Ответ: $a \in \{-1\} \cup \left(\frac{1}{2}; \frac{7}{10}\right) \cup \left(\frac{7}{10}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

74. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\cos^2 x + (2a + 3)\sin x - a^2 = 0$ имеет:

1) один корень на промежутке $[0; \pi]$;

2) один корень на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6})$;

3) один корень на промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$;

4) два корня на промежутке $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$;

5) три корня на промежутке $[0; 2\pi]$;

6) четыре корня на промежутке $(-\frac{\pi}{6}; \frac{4\pi}{3})$?

Исходное уравнение: $ \cos^2x + (2a + 3)\sin x - a^2 = 0 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2x = 1 - \sin^2x $:

$ 1 - \sin^2x + (2a + 3)\sin x - a^2 = 0 $

$ \sin^2x - (2a + 3)\sin x + a^2 - 1 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ t \in [-1, 1] $. Получим квадратное уравнение относительно $ t $:

$ t^2 - (2a + 3)t + a^2 - 1 = 0 $

Найдем дискриминант этого уравнения:

$ D = (-(2a+3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2-1) = 4a^2 + 12a + 9 - 4a^2 + 4 = 12a + 13 $.

Уравнение имеет действительные корни при $ D \ge 0 $, то есть $ 12a + 13 \ge 0 \Rightarrow a \ge -\frac{13}{12} $.

Корни уравнения для $ t $:

$ t_{1,2} = \frac{2a+3 \pm \sqrt{12a+13}}{2} $

Обозначим $ t_1 = \frac{2a+3 - \sqrt{12a+13}}{2} $ и $ t_2 = \frac{2a+3 + \sqrt{12a+13}}{2} $.

Проанализируем, при каких значениях $ a $ корни $ t_1, t_2 $ принадлежат отрезку $ [-1, 1] $.

• При $ a = -\frac{13}{12} $, $ D=0 $, уравнение имеет один корень $ t = \frac{2(-\frac{13}{12})+3}{2} = \frac{-\frac{13}{6}+3}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12} $. Этот корень принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.
• При $ a = -1 $, $ D=1 $, корни $ t_{1,2} = \frac{2(-1)+3 \pm 1}{2} = \frac{1 \pm 1}{2} $. $ t_1 = 0 $, $ t_2 = 1 $. Оба корня принадлежат $ [-1, 1] $.
• При $ a = 3 $, $ D=49 $, корни $ t_{1,2} = \frac{2(3)+3 \pm 7}{2} = \frac{9 \pm 7}{2} $. $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 8 $. Только $ t_1 $ принадлежит $ [-1, 1] $.

Исследование показывает, что:

• При $ a \in (-\infty, -\frac{13}{12}) \cup (3, \infty) $ нет корней $ t \in [-1, 1] $.
• При $ a = -\frac{13}{12} $ есть один корень $ t = \frac{5}{12} $.
• При $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $ есть два корня $ t \in [-1, 1] $. При $ a \to -\frac{13}{12} $, $ t_{1,2} \to \frac{5}{12} $. При $ a=-1 $, $ t_1=0, t_2=1 $.
• При $ a \in (-1, 3] $ есть один корень $ t \in [-1, 1] $ (это $ t_1 $), так как $ t_2 > 1 $.

Теперь рассмотрим каждый подпункт задачи.

1) один корень на промежутке [0; π]

На промежутке $ x \in [0; \pi] $, $ t = \sin x $ принимает значения из $ [0, 1] $. Уравнение $ \sin x = t $ имеет:

• один корень $ (x=\frac{\pi}{2}) $, если $ t=1 $;
• два корня, если $ t \in [0, 1) $;
• нет корней, если $ t \notin [0, 1] $.

Чтобы исходное уравнение имело один корень, необходимо, чтобы уравнение для $t$ имело ровно один корень $ t=1 $, а другие возможные корни $t$ не лежали в промежутке $[0, 1)$.

Рассмотрим значения $ a $, при которых $ t=1 $:

$ t_{1,2} = 1 \implies \frac{2a+3 \pm \sqrt{12a+13}}{2} = 1 \implies 2a+1 = \mp \sqrt{12a+13} $.

Возводя в квадрат, получаем $ (2a+1)^2 = 12a+13 \implies 4a^2+4a+1=12a+13 \implies 4a^2-8a-12=0 \implies a^2-2a-3=0 $. Корни $ a=-1 $ и $ a=3 $.

• При $ a=3 $: один корень $ t_1=1 $. Второй корень $ t_2=8 \notin [0, 1) $. Уравнение $ \sin x = 1 $ на $ [0; \pi] $ имеет один корень $ x = \frac{\pi}{2} $. Это удовлетворяет условию.
• При $ a=-1 $: два корня $ t_1=0 $ и $ t_2=1 $. $ \sin x = 1 $ дает один корень $ x=\frac{\pi}{2} $. $ \sin x = 0 $ дает два корня $ x=0, x=\pi $. Всего 3 корня. Не подходит.

Ответ: $ a=3 $.

2) один корень на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6})$

На промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}) $, функция $ \sin x $ строго возрастает и принимает значения из интервала $ (-1; \frac{1}{2}) $. Следовательно, для любого $ t \in (-1, \frac{1}{2}) $ уравнение $ \sin x = t $ имеет ровно один корень.

Задача сводится к поиску таких $ a $, при которых уравнение для $ t $ имеет ровно один корень в интервале $ (-1, \frac{1}{2}) $.

Случай 1: Уравнение для $ t $ имеет единственный корень $ t_0 $, и $ t_0 \in (-1, \frac{1}{2}) $.

• $ a = -\frac{13}{12} $: $ t=\frac{5}{12} $. $ -1 < \frac{5}{12} < \frac{1}{2} $ (верно, т.к. $ 5/12 \approx 0.417 $). Подходит.
• $ a \in (-1, 3] $: один корень $ t_1 $. Нужно, чтобы $ -1 < t_1 < \frac{1}{2} $. Решая неравенство $ t_1 < \frac{1}{2} $ для $ a \in (-1, 3] $, получаем $ a < \frac{1+\sqrt{10}}{2} $. Условие $ t_1 > -1 $ выполняется всегда, так как минимум $ t_1 $ равен $ -\frac{1}{3} $. Итак, $ a \in (-1, \frac{1+\sqrt{10}}{2}) $.

Случай 2: Уравнение для $ t $ имеет два корня $ t_1, t_2 $, но только один из них попадает в интервал $ (-1, \frac{1}{2}) $. Это возможно при $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $.

В этом диапазоне $ t_1 \in [0, \frac{5}{12}) $, что всегда в интервале $ (-1, \frac{1}{2}) $. Второй корень $ t_2 \in (\frac{5}{12}, 1] $. Нам нужно, чтобы $ t_2 $ был вне $ (-1, \frac{1}{2}) $, то есть $ t_2 \ge \frac{1}{2} $. Решая $ t_2 \ge \frac{1}{2} $, получаем $ a \ge \frac{1-\sqrt{10}}{2} $. Учитывая $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $, получаем $ a \in [\frac{1-\sqrt{10}}{2}, -1] $.

Объединяя все случаи: $ \{-\frac{13}{12}\} \cup [\frac{1-\sqrt{10}}{2}, -1] \cup (-1, \frac{1+\sqrt{10}}{2}) = \{-\frac{13}{12}\} \cup [\frac{1-\sqrt{10}}{2}, \frac{1+\sqrt{10}}{2}) $.

Ответ: $ a \in \{-\frac{13}{12}\} \cup [\frac{1-\sqrt{10}}{2}; \frac{1+\sqrt{10}}{2}) $.

3) один корень на промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$

На промежутке $ x \in [0; \frac{\pi}{2}] $, $ \sin x $ строго возрастает от 0 до 1. Для любого $ t \in [0, 1] $ уравнение $ \sin x = t $ имеет ровно один корень.

Задача сводится к поиску $ a $, при которых уравнение для $ t $ имеет ровно один корень в отрезке $ [0, 1] $.

• $ a = -\frac{13}{12} $: $ t=\frac{5}{12} \in [0, 1] $. Подходит.
• $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $: два корня $ t_1, t_2 $. $ t_1 \in [0, \frac{5}{12}) $ и $ t_2 \in (\frac{5}{12}, 1] $. Оба корня в $ [0, 1] $, значит будет два корня для $ x $. Не подходит.
• $ a \in (-1, 3] $: один корень $ t_1 $. Нужно, чтобы $ t_1 \in [0, 1] $. Это выполняется при $ a \in [1, 3] $.

Ответ: $ a \in \{-\frac{13}{12}\} \cup [1; 3] $.

4) два корня на промежутке $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$

На промежутке $ x \in [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] $, $ \sin x $ принимает значения из отрезка $ [\frac{1}{2}, 1] $. Уравнение $ \sin x = t $ имеет:

• два корня, если $ t \in [\frac{1}{2}, 1) $;
• один корень, если $ t=1 $.

Чтобы было два корня, нужно, чтобы уравнение для $t$ имело ровно один корень в промежутке $ [\frac{1}{2}, 1) $.

Случай 1: Уравнение для $ t $ имеет один корень $ t_0 \in [\frac{1}{2}, 1) $.

• $ a = -\frac{13}{12} $: $ t = \frac{5}{12} < \frac{1}{2} $. Не подходит.
• $ a \in (-1, 3] $: один корень $ t_1 $. Нужно $ t_1 \in [\frac{1}{2}, 1) $. Решая систему неравенств, получаем $ a \in [\frac{1+\sqrt{10}}{2}, 3) $.

Случай 2: Уравнение для $ t $ имеет два корня $ t_1, t_2 $, один из которых в $ [\frac{1}{2}, 1) $, а другой — нет. Это возможно при $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $.

$ t_1 \in [0, \frac{5}{12}) $, то есть $ t_1 < \frac{1}{2} $, он не подходит. Нужно, чтобы $ t_2 \in [\frac{1}{2}, 1) $. Решая систему $ \frac{1}{2} \le t_2 < 1 $, получаем $ a \in [\frac{1-\sqrt{10}}{2}, -1) $.

Объединяем решения.

Ответ: $ a \in [\frac{1-\sqrt{10}}{2}; -1) \cup [\frac{1+\sqrt{10}}{2}; 3) $.

5) три корня на промежутке [0; 2π)

На промежутке $ x \in [0; 2\pi) $ уравнение $ \sin x = t $ имеет:

• один корень, если $ t=1 $ или $ t=-1 $;
• два корня, если $ t \in (-1, 1) $.

Чтобы общее число корней было 3, необходима комбинация 1+2. Это возможно, если уравнение для $ t $ имеет два корня: один равен $ \pm 1 $, а второй принадлежит интервалу $ (-1, 1) $.

Мы знаем, что корни $ \pm 1 $ для $t$ получаются при $ a=-1 $ (корни $ t=0, t=1 $) и $ a=3 $ (корень $ t=1 $).

• При $ a=3 $: один корень $ t=1 $, $ \sin x = 1 $ дает один корень $ x = \frac{\pi}{2} $. Не подходит.
• При $ a=-1 $: два корня $ t_1=0, t_2=1 $. $ \sin x = 0 $ дает два корня ($ x=0, x=\pi $). $ \sin x = 1 $ дает один корень ($ x=\frac{\pi}{2} $). Всего $ 2+1=3 $ корня. Подходит.

Ответ: $ a = -1 $.

6) четыре корня на промежутке $(-\frac{\pi}{6}; \frac{4\pi}{3})$

Проанализируем количество решений уравнения $ \sin x = t $ на интервале $ x \in (-\frac{\pi}{6}; \frac{4\pi}{3}) $.

• $ N(t)=1 $, если $ t=1 $ или $ t \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}] $;
• $ N(t)=2 $, если $ t \in (-\frac{1}{2}, 1) $;
• $ N(t)=0 $ в остальных случаях.

Чтобы получить 4 корня, нужна комбинация $ N(t_1) + N(t_2) = 4 $. Единственный способ — это $ 2+2=4 $.

Значит, уравнение для $ t $ должно иметь два различных корня, и оба они должны лежать в интервале $ (-\frac{1}{2}, 1) $.

Это случай $ a \in (-\frac{13}{12}, -1) $.

В этом диапазоне $ t_1 \in (0, \frac{5}{12}) $. Этот корень всегда в $ (-\frac{1}{2}, 1) $.

Второй корень $ t_2 \in (\frac{5}{12}, 1) $. Этот корень также всегда в $ (-\frac{1}{2}, 1) $.

Таким образом, для всех $ a $ из этого интервала оба корня для $ t $ попадают в нужный диапазон, что дает $ 2+2=4 $ корня для $ x $.

Граничные точки:

• При $ a = -\frac{13}{12} $: один корень $ t = \frac{5}{12} \in (-\frac{1}{2}, 1) $, что дает 2 корня для $x$.
• При $ a = -1 $: корни $ t_1=0, t_2=1 $. $ N(0)=2 $, $ N(1)=1 $. Всего 3 корня.

Ответ: $ a \in (-\frac{13}{12}; -1) $.

75. Решите уравнение:

1) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2;$

2) $\cos 9x = 2\sin \left(\frac{3\pi}{2} - 3x\right).$

1) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} + \frac{1 + \cos(8x)}{2} = 2$

Умножим обе части уравнения на 2:

$(1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(4x)) + (1 + \cos(6x)) + (1 + \cos(8x)) = 4$

$4 + \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = 4$

$\cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\cos(8x) + \cos(2x)) + (\cos(6x) + \cos(4x)) = 0$

$2\cos\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} + 2\cos\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0$

$2\cos(5x)\cos(3x) + 2\cos(5x)\cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos(5x)$ за скобки:

$2\cos(5x)(\cos(3x) + \cos(x)) = 0$

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$2\cos(5x)(2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0$

$4\cos(5x)\cos(2x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность трех уравнений:

1. $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$.

2. $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

3. $\cos(5x) = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$, $m \in Z$.

Заметим, что первая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) является подмножеством третьей серии ($x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$). Это можно проверить, подставив $m = 2 + 5n$ в третью формулу: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi (2+5n)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \pi n = \frac{\pi + 4\pi}{10} + \pi n = \frac{5\pi}{10} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Таким образом, для получения полного ответа достаточно объединить вторую и третью серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$; $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$, $m \in Z$.

2) $\cos 9x = 2\sin(\frac{3\pi}{2} - 3x)$

Воспользуемся формулой приведения: $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Применив ее к правой части уравнения, получим:

$\cos 9x = 2(-\cos 3x)$

$\cos 9x + 2\cos 3x = 0$

Теперь используем формулу косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Пусть $\alpha = 3x$, тогда $9x = 3\alpha$. Уравнение примет вид:

$\cos(3 \cdot 3x) + 2\cos 3x = 0$

$(4\cos^3(3x) - 3\cos(3x)) + 2\cos(3x) = 0$

$4\cos^3(3x) - \cos(3x) = 0$

Вынесем общий множитель $\cos(3x)$ за скобки:

$\cos(3x)(4\cos^2(3x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\cos(3x) = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$.

2. $4\cos^2(3x) - 1 = 0$

$\cos^2(3x) = \frac{1}{4}$

$\cos(3x) = \pm\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения можно записать в виде $3x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in Z$.

Отсюда $x = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in Z$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$; $x = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in Z$.

76. Решите уравнение:

1) $2\sin x \sin 2x + \cos 3x = 0$;

2) $\sin(x + 45^{\circ})\sin(x - 15^{\circ}) = 0,5$.

1) $2\sin x \sin 2x + \cos 3x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность) косинусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.

Применим эту формулу к выражению $2\sin x \sin 2x$, где $\alpha = x$ и $\beta = 2x$:

$2\sin x \sin 2x = \cos(x - 2x) - \cos(x + 2x) = \cos(-x) - \cos(3x)$.

Так как косинус является четной функцией, $\cos(-x) = \cos x$. Следовательно, получаем:

$2\sin x \sin 2x = \cos x - \cos 3x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(\cos x - \cos 3x) + \cos 3x = 0$

Упростим уравнение, сократив $\cos 3x$ и $-\cos 3x$:

$\cos x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, общее решение которого имеет вид:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(x + 45^\circ)\sin(x - 15^\circ) = 0.5$

Для решения этого уравнения также воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций, а именно: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

В данном случае $\alpha = x + 45^\circ$ и $\beta = x - 15^\circ$.

Найдем разность и сумму углов:

$\alpha - \beta = (x + 45^\circ) - (x - 15^\circ) = x + 45^\circ - x + 15^\circ = 60^\circ$.

$\alpha + \beta = (x + 45^\circ) + (x - 15^\circ) = 2x + 30^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$\sin(x + 45^\circ)\sin(x - 15^\circ) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos(2x + 30^\circ))$.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение, зная, что $0.5 = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos(2x + 30^\circ)) = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\cos 60^\circ - \cos(2x + 30^\circ) = 1$

Известно, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{2} - \cos(2x + 30^\circ) = 1$

Выразим $\cos(2x + 30^\circ)$:

$-\cos(2x + 30^\circ) = 1 - \frac{1}{2}$

$-\cos(2x + 30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x + 30^\circ) = -\frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x + 30^\circ$ и $a = -\frac{1}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

$2x + 30^\circ = \pm 120^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая для нахождения $x$:

a) С положительным знаком:

$2x + 30^\circ = 120^\circ + 360^\circ k$

$2x = 120^\circ - 30^\circ + 360^\circ k$

$2x = 90^\circ + 360^\circ k$

$x = 45^\circ + 180^\circ k$

б) С отрицательным знаком:

$2x + 30^\circ = -120^\circ + 360^\circ k$

$2x = -120^\circ - 30^\circ + 360^\circ k$

$2x = -150^\circ + 360^\circ k$

$x = -75^\circ + 180^\circ k$

Ответ: $x = 45^\circ + 180^\circ k, x = -75^\circ + 180^\circ k, k \in \mathbb{Z}$.

77. Решите уравнение $(x+y)^2 + 10(x+y)\cos(\pi xy) + 25 = 0.$

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной $z = x+y$.

$z^2 + (10\cos(\pi xy))z + 25 = 0$

Для того чтобы это уравнение имело действительные решения для $z$, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (10\cos(\pi xy))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100\cos^2(\pi xy) - 100 = 100(\cos^2(\pi xy) - 1)$.

Условие $D \ge 0$ означает, что $100(\cos^2(\pi xy) - 1) \ge 0$, что эквивалентно $\cos^2(\pi xy) - 1 \ge 0$, или $\cos^2(\pi xy) \ge 1$.

Мы знаем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область значений функции $\cos^2(\alpha)$ есть отрезок $[0, 1]$. Таким образом, неравенство $\cos^2(\pi xy) \ge 1$ может выполняться только в одном случае, когда $\cos^2(\pi xy) = 1$.

При $\cos^2(\pi xy) = 1$ дискриминант $D = 100(1-1) = 0$.

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет единственный корень, который находится по формуле $z = -b/(2a)$.

$z = \frac{-10\cos(\pi xy)}{2} = -5\cos(\pi xy)$

Поскольку мы сделали замену $z=x+y$, получаем уравнение:

$x+y = -5\cos(\pi xy)$

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе из двух условий:

$\begin{cases} \cos^2(\pi xy) = 1 \\ x+y = -5\cos(\pi xy) \end{cases}$

Условие $\cos^2(\pi xy) = 1$ распадается на два случая: $\cos(\pi xy) = 1$ и $\cos(\pi xy) = -1$. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $\cos(\pi xy) = 1$

Если $\cos(\pi xy) = 1$, то аргумент косинуса является четным кратным $\pi$:

$\pi xy = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Отсюда получаем $xy = 2k$.

Подставляем значение $\cos(\pi xy) = 1$ во второе уравнение системы:

$x+y = -5(1) = -5$.

Таким образом, мы получили систему уравнений для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y = -5 \\ xy = 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 + 5t + 2k = 0$.

Это уравнение имеет действительные корни только тогда, когда его дискриминант $\Delta_1$ неотрицателен.

$\Delta_1 = 5^2 - 4(1)(2k) = 25 - 8k \ge 0$.

$25 \ge 8k \implies k \le \frac{25}{8} = 3.125$.

Поскольку $k$ — целое число, то $k \le 3$.

Корни уравнения для $t$ равны $t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8k}}{2}$.

Следовательно, решениями в этом случае являются все пары чисел $(x, y)$ вида:

$\left(\frac{-5 + \sqrt{25 - 8k}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{25 - 8k}}{2}\right)$ и $\left(\frac{-5 - \sqrt{25 - 8k}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{25 - 8k}}{2}\right)$ для любого целого $k \le 3$.

Случай 2: $\cos(\pi xy) = -1$

Если $\cos(\pi xy) = -1$, то аргумент косинуса является нечетным кратным $\pi$:

$\pi xy = (2k+1)\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда получаем $xy = 2k+1$.

Подставляем значение $\cos(\pi xy) = -1$ во второе уравнение системы:

$x+y = -5(-1) = 5$.

Таким образом, мы получили систему уравнений для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 2k+1, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 5t + (2k+1) = 0$.

Это уравнение имеет действительные корни только тогда, когда его дискриминант $\Delta_2$ неотрицателен.

$\Delta_2 = (-5)^2 - 4(1)(2k+1) = 25 - 8k - 4 = 21 - 8k \ge 0$.

$21 \ge 8k \implies k \le \frac{21}{8} = 2.625$.

Поскольку $k$ — целое число, то $k \le 2$.

Корни уравнения для $t$ равны $t = \frac{5 \pm \sqrt{21 - 8k}}{2}$.

Следовательно, решениями в этом случае являются все пары чисел $(x, y)$ вида:

$\left(\frac{5 + \sqrt{21 - 8k}}{2}, \frac{5 - \sqrt{21 - 8k}}{2}\right)$ и $\left(\frac{5 - \sqrt{21 - 8k}}{2}, \frac{5 + \sqrt{21 - 8k}}{2}\right)$ для любого целого $k \le 2$.

Ответ: Решениями уравнения являются две совокупности пар чисел $(x, y)$:

1) Пары $\left(\frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8k}}{2}, \frac{-5 \mp \sqrt{25 - 8k}}{2}\right)$ для любого целого числа $k \le 3$.

2) Пары $\left(\frac{5 \pm \sqrt{21 - 8k}}{2}, \frac{5 \mp \sqrt{21 - 8k}}{2}\right)$ для любого целого числа $k \le 2$.

78. Решите уравнение $y^2 - 3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)y + 9 = 0.$

Данное уравнение $y^2 - 3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)y + 9 = 0$ можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной $y$. Для того чтобы это уравнение имело действительные решения, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b = -3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)$ и $c = 9$.

$D = (-3\sqrt{2}(\cos x - \sin x))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9$

$D = 18(\cos x - \sin x)^2 - 36$

Используя формулу квадрата разности и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а также формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, преобразуем выражение:

$D = 18(\cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x) - 36 = 18(1 - \sin(2x)) - 36$

$D = 18 - 18\sin(2x) - 36 = -18 - 18\sin(2x) = -18(1 + \sin(2x))$

Условие существования действительных корней $D \ge 0$ приводит к неравенству:

$-18(1 + \sin(2x)) \ge 0$

Разделив обе части на $-18$, меняем знак неравенства:

$1 + \sin(2x) \le 0$

$\sin(2x) \le -1$

Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, единственное значение, удовлетворяющее этому неравенству, это $\sin(2x) = -1$.

При $\sin(2x) = -1$ дискриминант $D = -18(1 + (-1)) = 0$. Это означает, что уравнение имеет единственный корень для $y$.

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется условие $\sin(2x) = -1$:

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$. При $D=0$ корень квадратного уравнения находится по формуле $y = -\frac{b}{2a}$:

$y = -\frac{-3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)}{2 \cdot 1} = \frac{3\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$

Для упрощения выражения $\cos x - \sin x$ используем метод вспомогательного угла:

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})$

Подставим это в формулу для $y$:

$y = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 3\cos(x + \frac{\pi}{4})$

Теперь подставим найденные значения $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ в выражение для $y$:

$y = 3\cos(-\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi}{4}) = 3\cos(\pi k)$

Значение $\cos(\pi k)$ равно $1$ при четном $k$ и $-1$ при нечетном $k$. Это можно записать как $(-1)^k$.

Следовательно, $y = 3(-1)^k$.

Решениями уравнения являются пары чисел $(x, y)$, которые зависят от целочисленного параметра $k$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, y = 3(-1)^k$, где $k \in \mathbb{Z}$.