Номер 73, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

73. Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $\cos^2 x - \left(\frac{7}{10} + a\right)\cos x + \frac{7a}{10} = 0$ имеет на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}\right]$:

1) один корень;

2) два корня.

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$.

Сделаем замену $t = \cos x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - \left(\frac{7}{10} + a\right)t + \frac{7a}{10} = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $\frac{7}{10} + a$, а произведение корней равно $\frac{7a}{10}$. Отсюда следует, что корнями являются $t_1 = a$ и $t_2 = \frac{7}{10}$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\cos x = a \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{7}{10}$

Нам нужно найти, при каких значениях параметра $a$ эта совокупность имеет определенное количество корней на промежутке $x \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}\right]$.

Исследуем поведение функции $y = \cos x$ на заданном промежутке. На отрезке $\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ функция $\cos x$ монотонно убывает от $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ до $\cos(\pi) = -1$. На отрезке $\left[\pi, \frac{11\pi}{6}\right]$ функция $\cos x$ монотонно возрастает от $\cos(\pi) = -1$ до $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, множество значений функции $\cos x$ на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}\right]$ есть отрезок $\left[-1; \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

Рассмотрим первое уравнение совокупности: $\cos x = \frac{7}{10}$. Поскольку $\frac{1}{2} = 0.5$, а $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$, то значение $\frac{7}{10} = 0.7$ удовлетворяет условию $\frac{1}{2} < \frac{7}{10} < \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ функция $\cos x$ убывает от $\frac{1}{2}$ до $-1$, поэтому уравнение $\cos x = \frac{7}{10}$ не имеет корней на этом отрезке. На промежутке $\left[\pi, \frac{11\pi}{6}\right]$ функция $\cos x$ возрастает от $-1$ до $\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому уравнение $\cos x = \frac{7}{10}$ имеет ровно один корень на этом отрезке. Итак, уравнение $\cos x = \frac{7}{10}$ всегда имеет ровно один корень на заданном промежутке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}\right]$.

Теперь проанализируем количество корней второго уравнения $\cos x = a$ в зависимости от параметра $a$. Обозначим это количество как $N(a)$.
1. Уравнение не имеет корней ($N(a)=0$), если $a$ находится вне области значений косинуса на данном промежутке, то есть при $a < -1$ или $a > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Уравнение имеет один корень ($N(a)=1$), если $a=-1$ (корень $x=\pi$) или если $a \in \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ (один корень на промежутке возрастания).
3. Уравнение имеет два корня ($N(a)=2$), если $a \in \left(-1, \frac{1}{2}\right]$ (по одному корню на промежутках убывания и возрастания).

Особый случай — когда корни двух уравнений совпадают, то есть $a = \frac{7}{10}$. В этом случае оба уравнения совокупности идентичны: $\cos x = \frac{7}{10}$. Как мы выяснили, это уравнение имеет ровно один корень на заданном промежутке.

Теперь найдем значения $a$, при которых исходное уравнение имеет заданное число корней.

1) один корень

Исходное уравнение имеет один корень в двух случаях:

Случай 1: Уравнения $\cos x = a$ и $\cos x = \frac{7}{10}$ совпадают. Это происходит при $a = \frac{7}{10}$. В этом случае, как показано выше, уравнение имеет ровно один корень.

Случай 2: Уравнения различны ($a \neq \frac{7}{10}$), и уравнение $\cos x = a$ не имеет корней на заданном промежутке. Уравнение $\cos x = \frac{7}{10}$ дает один корень, а уравнение $\cos x = a$ — ноль корней, итого $1+0=1$ корень. Это происходит, когда $N(a)=0$, то есть при $a < -1$ или $a > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $a \in (-\infty; -1) \cup \left\{\frac{7}{10}\right\} \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty\right)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup \left\{\frac{7}{10}\right\} \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty\right)$.

2) два корня

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнения $\cos x = a$ и $\cos x = \frac{7}{10}$ различны ($a \neq \frac{7}{10}$), и уравнение $\cos x = a$ имеет ровно один корень на заданном промежутке. Тогда общее число различных корней будет $1+1=2$.

Уравнение $\cos x = a$ имеет один корень ($N(a)=1$) при $a=-1$ или при $a \in \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

Из этого множества значений нужно исключить случай $a = \frac{7}{10}$, так как он приводит к одному корню исходного уравнения.

Поскольку $\frac{1}{2} < \frac{7}{10} < \frac{\sqrt{3}}{2}$, то множество значений $a$, при которых уравнение $\cos x = a$ имеет один корень и $a \neq \frac{7}{10}$, таково: $a = -1$ или $a \in \left(\frac{1}{2}; \frac{7}{10}\right) \cup \left(\frac{7}{10}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

Ответ: $a \in \{-1\} \cup \left(\frac{1}{2}; \frac{7}{10}\right) \cup \left(\frac{7}{10}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.