Номер 74, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

74. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\cos^2 x + (2a + 3)\sin x - a^2 = 0$ имеет:

1) один корень на промежутке $[0; \pi]$;

2) один корень на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6})$;

3) один корень на промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$;

4) два корня на промежутке $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$;

5) три корня на промежутке $[0; 2\pi]$;

6) четыре корня на промежутке $(-\frac{\pi}{6}; \frac{4\pi}{3})$?

Исходное уравнение: $ \cos^2x + (2a + 3)\sin x - a^2 = 0 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2x = 1 - \sin^2x $:

$ 1 - \sin^2x + (2a + 3)\sin x - a^2 = 0 $

$ \sin^2x - (2a + 3)\sin x + a^2 - 1 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ t \in [-1, 1] $. Получим квадратное уравнение относительно $ t $:

$ t^2 - (2a + 3)t + a^2 - 1 = 0 $

Найдем дискриминант этого уравнения:

$ D = (-(2a+3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2-1) = 4a^2 + 12a + 9 - 4a^2 + 4 = 12a + 13 $.

Уравнение имеет действительные корни при $ D \ge 0 $, то есть $ 12a + 13 \ge 0 \Rightarrow a \ge -\frac{13}{12} $.

Корни уравнения для $ t $:

$ t_{1,2} = \frac{2a+3 \pm \sqrt{12a+13}}{2} $

Обозначим $ t_1 = \frac{2a+3 - \sqrt{12a+13}}{2} $ и $ t_2 = \frac{2a+3 + \sqrt{12a+13}}{2} $.

Проанализируем, при каких значениях $ a $ корни $ t_1, t_2 $ принадлежат отрезку $ [-1, 1] $.

• При $ a = -\frac{13}{12} $, $ D=0 $, уравнение имеет один корень $ t = \frac{2(-\frac{13}{12})+3}{2} = \frac{-\frac{13}{6}+3}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12} $. Этот корень принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.
• При $ a = -1 $, $ D=1 $, корни $ t_{1,2} = \frac{2(-1)+3 \pm 1}{2} = \frac{1 \pm 1}{2} $. $ t_1 = 0 $, $ t_2 = 1 $. Оба корня принадлежат $ [-1, 1] $.
• При $ a = 3 $, $ D=49 $, корни $ t_{1,2} = \frac{2(3)+3 \pm 7}{2} = \frac{9 \pm 7}{2} $. $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 8 $. Только $ t_1 $ принадлежит $ [-1, 1] $.

Исследование показывает, что:

• При $ a \in (-\infty, -\frac{13}{12}) \cup (3, \infty) $ нет корней $ t \in [-1, 1] $.
• При $ a = -\frac{13}{12} $ есть один корень $ t = \frac{5}{12} $.
• При $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $ есть два корня $ t \in [-1, 1] $. При $ a \to -\frac{13}{12} $, $ t_{1,2} \to \frac{5}{12} $. При $ a=-1 $, $ t_1=0, t_2=1 $.
• При $ a \in (-1, 3] $ есть один корень $ t \in [-1, 1] $ (это $ t_1 $), так как $ t_2 > 1 $.

Теперь рассмотрим каждый подпункт задачи.

1) один корень на промежутке [0; π]

На промежутке $ x \in [0; \pi] $, $ t = \sin x $ принимает значения из $ [0, 1] $. Уравнение $ \sin x = t $ имеет:

• один корень $ (x=\frac{\pi}{2}) $, если $ t=1 $;
• два корня, если $ t \in [0, 1) $;
• нет корней, если $ t \notin [0, 1] $.

Чтобы исходное уравнение имело один корень, необходимо, чтобы уравнение для $t$ имело ровно один корень $ t=1 $, а другие возможные корни $t$ не лежали в промежутке $[0, 1)$.

Рассмотрим значения $ a $, при которых $ t=1 $:

$ t_{1,2} = 1 \implies \frac{2a+3 \pm \sqrt{12a+13}}{2} = 1 \implies 2a+1 = \mp \sqrt{12a+13} $.

Возводя в квадрат, получаем $ (2a+1)^2 = 12a+13 \implies 4a^2+4a+1=12a+13 \implies 4a^2-8a-12=0 \implies a^2-2a-3=0 $. Корни $ a=-1 $ и $ a=3 $.

• При $ a=3 $: один корень $ t_1=1 $. Второй корень $ t_2=8 \notin [0, 1) $. Уравнение $ \sin x = 1 $ на $ [0; \pi] $ имеет один корень $ x = \frac{\pi}{2} $. Это удовлетворяет условию.
• При $ a=-1 $: два корня $ t_1=0 $ и $ t_2=1 $. $ \sin x = 1 $ дает один корень $ x=\frac{\pi}{2} $. $ \sin x = 0 $ дает два корня $ x=0, x=\pi $. Всего 3 корня. Не подходит.

Ответ: $ a=3 $.

2) один корень на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6})$

На промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}) $, функция $ \sin x $ строго возрастает и принимает значения из интервала $ (-1; \frac{1}{2}) $. Следовательно, для любого $ t \in (-1, \frac{1}{2}) $ уравнение $ \sin x = t $ имеет ровно один корень.

Задача сводится к поиску таких $ a $, при которых уравнение для $ t $ имеет ровно один корень в интервале $ (-1, \frac{1}{2}) $.

Случай 1: Уравнение для $ t $ имеет единственный корень $ t_0 $, и $ t_0 \in (-1, \frac{1}{2}) $.

• $ a = -\frac{13}{12} $: $ t=\frac{5}{12} $. $ -1 < \frac{5}{12} < \frac{1}{2} $ (верно, т.к. $ 5/12 \approx 0.417 $). Подходит.
• $ a \in (-1, 3] $: один корень $ t_1 $. Нужно, чтобы $ -1 < t_1 < \frac{1}{2} $. Решая неравенство $ t_1 < \frac{1}{2} $ для $ a \in (-1, 3] $, получаем $ a < \frac{1+\sqrt{10}}{2} $. Условие $ t_1 > -1 $ выполняется всегда, так как минимум $ t_1 $ равен $ -\frac{1}{3} $. Итак, $ a \in (-1, \frac{1+\sqrt{10}}{2}) $.

Случай 2: Уравнение для $ t $ имеет два корня $ t_1, t_2 $, но только один из них попадает в интервал $ (-1, \frac{1}{2}) $. Это возможно при $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $.

В этом диапазоне $ t_1 \in [0, \frac{5}{12}) $, что всегда в интервале $ (-1, \frac{1}{2}) $. Второй корень $ t_2 \in (\frac{5}{12}, 1] $. Нам нужно, чтобы $ t_2 $ был вне $ (-1, \frac{1}{2}) $, то есть $ t_2 \ge \frac{1}{2} $. Решая $ t_2 \ge \frac{1}{2} $, получаем $ a \ge \frac{1-\sqrt{10}}{2} $. Учитывая $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $, получаем $ a \in [\frac{1-\sqrt{10}}{2}, -1] $.

Объединяя все случаи: $ \{-\frac{13}{12}\} \cup [\frac{1-\sqrt{10}}{2}, -1] \cup (-1, \frac{1+\sqrt{10}}{2}) = \{-\frac{13}{12}\} \cup [\frac{1-\sqrt{10}}{2}, \frac{1+\sqrt{10}}{2}) $.

Ответ: $ a \in \{-\frac{13}{12}\} \cup [\frac{1-\sqrt{10}}{2}; \frac{1+\sqrt{10}}{2}) $.

3) один корень на промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$

На промежутке $ x \in [0; \frac{\pi}{2}] $, $ \sin x $ строго возрастает от 0 до 1. Для любого $ t \in [0, 1] $ уравнение $ \sin x = t $ имеет ровно один корень.

Задача сводится к поиску $ a $, при которых уравнение для $ t $ имеет ровно один корень в отрезке $ [0, 1] $.

• $ a = -\frac{13}{12} $: $ t=\frac{5}{12} \in [0, 1] $. Подходит.
• $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $: два корня $ t_1, t_2 $. $ t_1 \in [0, \frac{5}{12}) $ и $ t_2 \in (\frac{5}{12}, 1] $. Оба корня в $ [0, 1] $, значит будет два корня для $ x $. Не подходит.
• $ a \in (-1, 3] $: один корень $ t_1 $. Нужно, чтобы $ t_1 \in [0, 1] $. Это выполняется при $ a \in [1, 3] $.

Ответ: $ a \in \{-\frac{13}{12}\} \cup [1; 3] $.

4) два корня на промежутке $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$

На промежутке $ x \in [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] $, $ \sin x $ принимает значения из отрезка $ [\frac{1}{2}, 1] $. Уравнение $ \sin x = t $ имеет:

• два корня, если $ t \in [\frac{1}{2}, 1) $;
• один корень, если $ t=1 $.

Чтобы было два корня, нужно, чтобы уравнение для $t$ имело ровно один корень в промежутке $ [\frac{1}{2}, 1) $.

Случай 1: Уравнение для $ t $ имеет один корень $ t_0 \in [\frac{1}{2}, 1) $.

• $ a = -\frac{13}{12} $: $ t = \frac{5}{12} < \frac{1}{2} $. Не подходит.
• $ a \in (-1, 3] $: один корень $ t_1 $. Нужно $ t_1 \in [\frac{1}{2}, 1) $. Решая систему неравенств, получаем $ a \in [\frac{1+\sqrt{10}}{2}, 3) $.

Случай 2: Уравнение для $ t $ имеет два корня $ t_1, t_2 $, один из которых в $ [\frac{1}{2}, 1) $, а другой — нет. Это возможно при $ a \in (-\frac{13}{12}, -1] $.

$ t_1 \in [0, \frac{5}{12}) $, то есть $ t_1 < \frac{1}{2} $, он не подходит. Нужно, чтобы $ t_2 \in [\frac{1}{2}, 1) $. Решая систему $ \frac{1}{2} \le t_2 < 1 $, получаем $ a \in [\frac{1-\sqrt{10}}{2}, -1) $.

Объединяем решения.

Ответ: $ a \in [\frac{1-\sqrt{10}}{2}; -1) \cup [\frac{1+\sqrt{10}}{2}; 3) $.

5) три корня на промежутке [0; 2π)

На промежутке $ x \in [0; 2\pi) $ уравнение $ \sin x = t $ имеет:

• один корень, если $ t=1 $ или $ t=-1 $;
• два корня, если $ t \in (-1, 1) $.

Чтобы общее число корней было 3, необходима комбинация 1+2. Это возможно, если уравнение для $ t $ имеет два корня: один равен $ \pm 1 $, а второй принадлежит интервалу $ (-1, 1) $.

Мы знаем, что корни $ \pm 1 $ для $t$ получаются при $ a=-1 $ (корни $ t=0, t=1 $) и $ a=3 $ (корень $ t=1 $).

• При $ a=3 $: один корень $ t=1 $, $ \sin x = 1 $ дает один корень $ x = \frac{\pi}{2} $. Не подходит.
• При $ a=-1 $: два корня $ t_1=0, t_2=1 $. $ \sin x = 0 $ дает два корня ($ x=0, x=\pi $). $ \sin x = 1 $ дает один корень ($ x=\frac{\pi}{2} $). Всего $ 2+1=3 $ корня. Подходит.

Ответ: $ a = -1 $.

6) четыре корня на промежутке $(-\frac{\pi}{6}; \frac{4\pi}{3})$

Проанализируем количество решений уравнения $ \sin x = t $ на интервале $ x \in (-\frac{\pi}{6}; \frac{4\pi}{3}) $.

• $ N(t)=1 $, если $ t=1 $ или $ t \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}] $;
• $ N(t)=2 $, если $ t \in (-\frac{1}{2}, 1) $;
• $ N(t)=0 $ в остальных случаях.

Чтобы получить 4 корня, нужна комбинация $ N(t_1) + N(t_2) = 4 $. Единственный способ — это $ 2+2=4 $.

Значит, уравнение для $ t $ должно иметь два различных корня, и оба они должны лежать в интервале $ (-\frac{1}{2}, 1) $.

Это случай $ a \in (-\frac{13}{12}, -1) $.

В этом диапазоне $ t_1 \in (0, \frac{5}{12}) $. Этот корень всегда в $ (-\frac{1}{2}, 1) $.

Второй корень $ t_2 \in (\frac{5}{12}, 1) $. Этот корень также всегда в $ (-\frac{1}{2}, 1) $.

Таким образом, для всех $ a $ из этого интервала оба корня для $ t $ попадают в нужный диапазон, что дает $ 2+2=4 $ корня для $ x $.

Граничные точки:

• При $ a = -\frac{13}{12} $: один корень $ t = \frac{5}{12} \in (-\frac{1}{2}, 1) $, что дает 2 корня для $x$.
• При $ a = -1 $: корни $ t_1=0, t_2=1 $. $ N(0)=2 $, $ N(1)=1 $. Всего 3 корня.

Ответ: $ a \in (-\frac{13}{12}; -1) $.