Номер 97, страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

97. Определите, является ли прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Для того чтобы определить, является ли прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x}$, необходимо проверить выполнение двух условий в некоторой точке $x_0$:

1. Значение функции в точке $x_0$ должно быть равно значению прямой в этой же точке (точка касания лежит на обоих графиках).
2. Значение производной функции в точке $x_0$ должно быть равно угловому коэффициенту (наклону) прямой.

1. Найдем производную функции.

Функция: $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

Ее производная: $f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Найдем абсциссу точки касания.

Угловой коэффициент данной прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ равен $k = \frac{1}{2}$.

Приравняем значение производной к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти возможную абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = k$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения следует, что $2\sqrt{x_0} = 2$, или $\sqrt{x_0} = 1$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x_0 = 1$.

3. Проверим, принадлежит ли точка касания обоим графикам.

Мы нашли возможную абсциссу точки касания $x_0 = 1$. Найдем ординату этой точки на графике функции $y = \sqrt{x}$:

$y_0 = \sqrt{1} = 1$.

Таким образом, предполагаемая точка касания — $(1, 1)$.

Теперь проверим, лежит ли эта точка на прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Подставим координаты точки $(1, 1)$ в уравнение прямой:

$1 = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}$

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$1 = 1$

Равенство верное, значит точка $(1, 1)$ принадлежит и графику функции, и прямой.

Поскольку оба условия касания выполнены в точке $x_0 = 1$, данная прямая является касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$ в этой точке.

Ответ: Да, прямая является касательной. Абсцисса точки касания: 1.